Cinemática: Rapidez, desplazamiento y velocidad: introducción a los vectoresCategoría de ejercicios: MRU -
fecha de calificación: Semana del 24 al 28 de abril de 2023UNA CANTIDAD ESCALAR, o un
escalar, no tiene una dirección en el espacio. Son escalares muchos conceptos de la física, como longitud, tiempo, temperatura, masa, densidad, carga y volumen; cada uno tiene una escala o tamaño, pero no una dirección asociada. El número de estudiantes en una clase, la cantidad de azúcar en un frasco y el costo de una casa son cantidades escalares conocidas.
Los escalares se especifican mediante números comunes y se suman y restan igual que ellos. Dos dulces en una caja más siete en otra dan un total de nueve dulces.
DISTANCIA (\( l \)): Subir a un vehículo y recorrer una distancia, cierta longitud en el espacio, la cual se simboliza mediante la letra \( l \). Suponga que obtiene del velocímetro una lectura de 100 millas (o 161 km); ésa es la distancia a la que llegó sin tomar en cuenta la ruta que siguió, las colinas o las vueltas. Asimismo, el insecto de la figura 1 caminó una distancia \( l \) medida a lo largo de una ruta sinuosa; \( l \) también se denomina la
longitud de la trayectoria y es una cantidad escalar. (Por cierto, casi todas las personas evitan utilizar \( d \) para la distancia debido a que se utiliza mucho en la representación de derivadas.)
LA RAPIDEZ PROMEDIO (MAGNITUD PROMEDIO DE LA RAPIDEZ) \( (v_{\text{prom}}) \) es una medida de qué tan rápido viaja un objeto en el espacio y también es una cantidad escalar. Imagine un objeto que tarda un tiempo \( t \) para recorrer una distancia \( l \). La rapidez promedio durante ese intervalo se define mediante\[ \text{rapidez promedio} = \frac {\text{distancia total recorrida}}{\text{tiempo transcurrido}} \]\[ v_{\text{prom}} = \frac l t \]Las unidades de rapidez cotidianas en el trabajo científico se usan kilómetros por hora \( (km/h) \) o, mejor aún, metros por segundo \( (m/s) \). Como se observa, la rapidez es parte del concepto más incluyente de velocidad, y por eso se usa la letra \( v \). Puede surgir un problema con la rapidez promedio de un objeto, pero también puede tratar el caso especial de una
rapidez constante \( v \), dado que \( v_{\text{prom}}= v = \frac l t \) (consulte el problema 3).
EL DESPLAZAMIENTO de un objeto de un lugar a otro es una cantidad vectorial. En la figura 1, el desplazamiento del insecto para ir de \( P_1 \) a \( P_2 \) se especifica mediante el vector \( \mathbf{\vec s} \) (el símbolo s proviene del uso en el siglo pasado, el cual corresponde al "espacio" entre dos puntos). Si la distancia en línea recta de \( P_1 \) a \( P_2 \) es, por ejemplo, 2.0 m, sólo se dibuja que \( \mathbf{\vec s} \) sea cualquier longitud conveniente y se define con 2.0 m. En cualquier caso, \( \mathbf{\vec s} = 2.0 m — 10° \text{NORESTE} \).
Figura 1-1
LA VELOCIDAD es una cantidad vectorial que abarca la rapidez y la dirección del movimiento. Si un objeto experimenta un desplazamiento vectorial \( \mathbf{\vec s} \) en un intervalo de tiempo \( t \), en tal caso\[ \text{Velocidad promedio} = \frac {\text{desplazamiento vectorial}}{\text{tiempo transcurrido}} \]\[ \mathbf{\vec v}= \frac{\mathbf{\vec s}} t \]La dirección del vector velocidad es igual que la del vector desplazamiento. Las unidades de la velocidad (y la rapidez) son las de la distancia dividida entre el tiempo, como m/s o km/h.
LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA es la velocidad promedio evaluada para un intervalo de tiempo que tiende a cero. Por tanto, si se somete un objeto a un desplazamiento \( \Delta \mathbf{\vec s} \) en un tiempo \( \Delta t \), la velocidad instantánea para ese objeto es\[ \mathbf{\vec v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf{\vec s}}{\Delta t} \]en donde la notación significa que se va a evaluar la razón \( \frac {\Delta \mathbf{\vec s}}{\Delta t} \) para un intervalo de tiempo \( \Delta t \) que tiende a cero.
SUMA DE VECTORES: El concepto de "vector" no queda definido por completo hasta que se establecen algunas reglas de comportamiento. Por ejemplo, ¿cómo se suman varios vectores (desplazamientos, fuerzas, lo que sea)? El insecto de la figura anterior camina de \( P_1 \) a \( P_2 \), se detiene y después continúa a \( P_3 \). Experimenta dos desplazamientos, \( \mathbf{\vec s}_1 \) y \( \mathbf{\vec s}_2 \), los cuales se combinan para producir un desplazamiento neto \( \mathbf{\vec s} \). Aquí, \( \mathbf{\vec s} \) se denomina la
resultante o suma de los dos desplazamientos y es el equivalente físico de los dos tomados juntos \( \mathbf{\vec s}=\mathbf{\vec s}_1 +\mathbf{\vec s}_2 \).
MÉTODO DE PUNTA A COLA (O DEL POLÍGONO): Los dos vectores de la figura 1-2 muestran cómo se suman de manera gráfica dos (o más) vectores. Simplemente ponga la cola del segundo \( (\mathbf{\vec s}_2) \) en la punta del primero \( (\mathbf{\vec s}_1) \); en tal caso, la resultante va del punto inicial \( P_1 \) (la cola de \( \mathbf{\vec s}_1 \)) al punto final \( P_2 \).
Figura 1-2.png Figura 1-3.png
(la punta de \( \mathbf{\vec s}_2 \)). La figura 1-3a es más general; presenta un punto inicial \( P_i \) y tres vectores desplazamiento. Si se sigue de la cola a la punta estos tres desplazamientos en cualquier orden [figuras 1-3b y c] se llega al mismo punto final \( P_f \), y la misma resultante \( \mathbf{\vec s} \). En otras palabras\[ \mathbf{\vec s} = \mathbf{\vec s}_1 + \mathbf{\vec s}_2 + \mathbf{\vec s}_3 = \mathbf{\vec s}_2 + \mathbf{\vec s}_1 + \mathbf{\vec s}_3 \text{ etcétera.} \]Siempre y cuando el insecto comience en \( P_i \) y efectúe los tres desplazamientos, en cualquier secuencia, terminará en \( P_f \).
El mismo procedimiento de punta a cola se aplica a cualquier tipo de vector, ya sea de desplazamiento, velocidad, fuerza u otra cosa. En consecuencia, en la figura 1-4 se presenta la resultante \( (\mathbf{\vec R}) \) obtenida al sumar los vectores genéricos \( \mathbf{\vec A} \), \( \mathbf{\vec B} \) y \( \mathbf{\vec C} \). El tamaño o la
magnitud de un vector, por ejemplo \( \mathbf{\vec R} \), es su
valor absoluto y se indica simbólicamente como \( \Vert \mathbf{\vec R} \Vert \); en este momento se verá cómo calcularlo. Una práctica común, aunque no es siempre una buena idea, es representar la magnitud de un vector con una letra en cursivas, por ejemplo, \( R= \Vert \mathbf{\vec R} \Vert \).
Figura 1-4.png
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO para sumar dos vectores: la resultante de dos vectores unidos sus orígenes en un punto y que forman cualquier ángulo se puede representar mediante la diagonal de un paralelogramo. Se dibujan los dos vectores como los lados del paralelogramo y la resultante es su diagonal, como en la figura 1-5. La resultante tiene una dirección que se aleja del origen de los dos vectores.
Figura 1-5.png
SUSTRACCIÓN O RESTA DE VECTORES: Para restar un vector \( \mathbf{\vec B} \) de un vector \( \mathbf{\vec A} \) se invierte la dirección de \( \mathbf{\vec B} \) y se suma individualmente al vector \( \mathbf{\vec A} \), es decir, \( \mathbf{\vec A} - \mathbf{\vec B} = \mathbf{\vec A} + (-\mathbf{\vec B}) \).
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS se definen en relación con un ángulo recto. Para el triángulo rectángulo de la figura 1-6, por definición\[ \begin{array}{ccc}
\sin \theta = \cfrac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}= \cfrac B C, & \cos \theta = \cfrac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \cfrac A C , & \tan \theta = \cfrac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \cfrac B A
\end{array} \]Se suelen utilizar en las formas\[ \begin{array}{ccc}
B = C \sin \theta & A =C \cos \theta & B = A \tan \theta
\end{array} \]
Figura 1-6.png
UNA COMPONENTE DE UN VECTOR es su valor real en una dirección determinada. Por ejemplo, la componente \( x \) de un desplazamiento es el desplazamiento paralelo al eje \( x \) causado por el desplazamiento determinado. Un vector en tres direcciones se puede considerar como la resultante de sus vectores componentes resueltas a lo largo de tres direcciones
mutuamente perpendiculares. Asimismo, un vector en dos dimensiones se resuelve en dos vectores componentes que actúan a lo largo de dos direcciones mutuamente perpendiculares. La figura 1-7 muestra el vector \( \mathbf{\vec R} \) y sus vectores componentes \( x \) y \( y \), \( \mathbf{\vec R}_x \) y \( \mathbf{\vec R}_y \), los cuales tienen magnitudes\[ \begin{array}{ccc}
\Vert \mathbf{\vec R}_x \Vert = \Vert \mathbf{\vec R} \Vert \cos \theta & \text y & \Vert \mathbf{\vec R}_y \Vert = \Vert \mathbf{\vec R} \Vert \sin \theta
\end{array} \]
Figura 1-7.png
\[ \begin{array}{ccc}
R_x = R \cos \theta & \text y & R_y = R \sin \theta
\end{array} \]
MÉTODO DE COMPONENTES PARA SUMAR VECTORES: Cada vector se resuelve en sus componentes \( x \), \( y \) y \( z \), con las componentes que tienen direcciones negativas consideradas como negativas. La componente escalar \( x \) \( R_x \) de la resultante \( \mathbf{\vec R} \) es la suma algebraica de todas las componentes escalares de x. Las componentes escalares de \( y \) y de \( z \) de la resultante se obtienen de manera similar. Con las componentes conocidas, la magnitud de la resultante se determina mediante\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]En dos dimensiones, el ángulo de la resultante con el eje \( x \) se encuentra a partir de la relación\[ \tan \theta = \cfrac {R_y}{R_x} \]
LOS VECTORES UNITARIOS tienen una magnitud de uno y se representan con un símbolo en negritas coronado con un acento circunflejo. Los vectores unitarios especiales \( \mathbf{\hat i} \), \( \mathbf{\hat j} \) y \( \mathbf{\hat k} \) se asignan a los ejes \( x \), \( y \) y \( z \), respectivamente. Un vector \( 3 \mathbf{\hat i} \) representa un vector de 3 unidades en la dirección \( x \), mientras que \( 5 \mathbf{\hat k} \) representa un vector de 5 unidades en la dirección \( z \). Un vector \( \mathbf{\vec R} \) que tiene componentes \( x \), \( y \) y \( z \) escalares \( R_x \), \( R_y \) y \( R_z \), respectivamente, se escribe como \( \mathbf{\vec R} = R_x \mathbf{\hat i} + R_y \mathbf{\hat j} + R_z \mathbf{\hat k} \).
EJERCICIOS- Un tren de juguete viaja por una pista con una rapidez promedio de 0.25 m/s. ¿A qué distancia viajará en 4.00 minutos?
- Una estudiante conduce un automóvil que viaja 10.0 km en 30.0 min. ¿Cuál es su rapidez promedio?
- Al rodar por el taller a una rapidez constante de 4.25 m/s, un robot cubre una distancia de 17.0 m. ¿Cuánto tarda ese viaje?
Un automóvil viaja por un camino y las lecturas de su velocímetro se grafican contra el tiempo en la figura siguiente. Encuentre la rapidez instantánea del vehículo en los puntos A y B. ¿Cuál es la rapidez promedio del automóvil?
figura 1-8.png
- Un corredor da una vuelta por una pista de 200 m en un tiempo de 25 s. ¿Cuáles son a) la rapidez promedio y b) la velocidad promedio del corredor?
Mediante el método gráfico, encuentre la resultante de los dos desplazamientos siguientes: 2.0 m en 40° y 4.0 m en 127°, y los ángulos considerados en relación con el eje +x, como es costumbre. Proporcione la respuesta con dos cifras significativas.
figura 1-9.png
- Despeje el problema anterior mediante componentes rectangulares.
- Suma de vectores: Hacer el dibujo de estos vectores con regla, transportador y compás, indicando la escala de trabajo.
- \( \mathbf {\vec A} \implies 18m/s \text { con ángulo de }75° \)
- \( \mathbf {\vec B} \implies 10m/s \text { con ángulo de }115° \)
- \( \mathbf {\vec C} \implies 7m/s \text { con ángulo de }220° \)
Representar las siguientes operaciones vectoriales: a) \( \mathbf {\vec A + \vec B} \), b) \( \mathbf {\vec A + \vec B + \vec C} \), c) \( \mathbf {\vec A - \vec B } \), d) \( \mathbf {\vec A + \vec B - \vec C} \), e) \( \mathbf {\vec A - (\vec B + \vec C)} \)
- \( \mathbf {\vec D} = 3 \mathbf {\hat i}cm + 12\mathbf {\hat j}cm \)
- \( \mathbf {\vec E} = -2 \mathbf {\hat i}cm + 7\mathbf {\hat j}cm \)
- \( \mathbf {\vec F} = -3 \mathbf {\hat i}cm -4\mathbf {\hat j}cm \)
Representar las siguientes operaciones vectoriales: a) \( \mathbf {\vec D + \vec E} \), b) \( \mathbf {\vec D + \vec E + \vec F} \), c) \( \mathbf {\vec D - \vec E } \), d) \( \mathbf {\vec D + \vec E - \vec F} \), e) \( \mathbf {\vec E - (\vec F + \vec D)} \) - Una embarcación viaja a una rapidez de 8 km/h en las aguas tranquilas de un lago. En las aguas de una corriente, se puede mover a 8 km/h respecto al agua de la corriente. Si la rapidez de la corriente es de 3 km/h, ¿qué tan rápido deja atrás la embarcación un árbol en la playa cuando viaja a) contra la corriente y b) a favor de la corriente.
- Un avión viaja hacia el este con una rapidez de 500 km/h. Pero un viento de 90 km/h sopla hacia el sur. ¿Cuáles son la dirección y la rapidez respecto al suelo?
Problemas complementarios: MRU -
fecha de calificación: Semana del 1 al 5 mayo 2023- Tres niños en un estacionamiento lanzan un cohete que se eleva en el aire por un arco de 380 m de longitud en 40 s. Determine la rapidez promedio.
- De acuerdo con su computadora, un robot que salió de su armario y viajó 1 200 m tuvo una rapidez promedio de 20.0 m/s. ¿Cuánto tardó su recorrido?
- La lectura del velocímetro de un automóvil es de 22 687 km al comienzo de un viaje y de 22 791 km al final. El viaje tardó 4.0 horas. ¿Cuál fue la rapidez promedio del automóvil en km/h y en m/s?
- Un automóvil viaja a razón de 25 km/h durante 4.0 minutos, después a 50 km/h durante 8.0 minutos, y por último a 20 km/h durante 2.0 minutos. Encuentre a) la distancia total cubierta en km, y b) la rapidez promedio para el viaje completo en m/s.
- Desde el centro de una ciudad, un vehículo viaja hacia el este durante 80.0 km y luego da vuelta al sur durante otros 192 km, hasta que se le acaba la gasolina. Determinar el desplazamiento del automóvil detenido desde el centro de la ciudad.
- Una tortuga está en el origen de una cuadrícula dibujada en una hoja de papel grande. Cada cuadro mide 1.0 cm por 1.0 cm. La tortuga camina un rato y termina en el punto (24, 10), es decir, 24 cuadros a lo largo del eje x y 10 cuadros a lo largo del eje y. Determine el desplazamiento de la tortuga desde el punto al origen.
- Un insecto comienza en el punto A, repta 8.0 cm al este, luego 5.0 cm al sur, 3.0 cm al oeste y 4.0 cm al norte hasta el punto B. a) ¿Qué tan al norte y al este está B de A? b) Encuentre el desplazamiento de A a B tanto de manera gráfica como algebraica.
- Un corredor da 1.5 vueltas por una pista circular en un tiempo de 50 s. El diámetro de la pista es de 40 m y su circunferencia es de 126 m. Encuentre a) la rapidez promedio del corredor y b) la magnitud de la velocidad promedio del corredor. Hay que tener cuidado aquí, la rapidez promedio depende de la distancia total recorrida, mientras que la velocidad promedio depende del desplazamiento al final del viaje específico.
- Durante una carrera en una pista ovalada, un automóvil viaja a una rapidez promedio de 200 km/h. a) ¿Qué distancia viajó en 45.0 min? b) Determine su velocidad promedio al final de su tercera vuelta.
Los datos siguientes describen la posición de un objeto a lo largo del eje x como una función del tiempo. Grafique los datos y encuentre la velocidad instantánea del objeto en a) t = 5.0 s, b) 16 s y c) 23 s.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2841;image)
- Para el objeto cuyo movimiento se describe en el problema 10, encuentre su velocidad en los momentos siguientes: a) 3.0 s, b) 10 s y c) 24 s.
- Encuentre las componentes escalares de x y y de los desplazamientos siguientes en el plano xy: a) 300 cm a 127° y b) 500 cm a 220°.
- Comenzando en el origen de las coordenadas, se hacen los desplazamientos siguientes en el plano xy (es decir, los desplazamientos son coplanares): 60 mm en la dirección +y, 30 mm en la dirección -x, 40 mm a 150° y 50 mm a 240°. Encuentre el desplazamiento resultante de manera gráfica y algebraica.
- Calcule algebraicamente la resultante de los siguientes desplazamientos coplanares: 20.0 m a 30.0°, 40.0 m a 120.0°, 25 m a 180.0°, 42.0 m a 270.0° y 12.0 m a 315.0°. Confirme la respuesta con una solución gráfica.
- ¿Qué desplazamiento en 70° tiene una componente x de 450 m? ¿Cuál es su componente y?
- ¿Qué desplazamiento debe sumarse a un desplazamiento de 50 cm en la dirección +x para obtener un desplazamiento resultante de 85 cm a 25°?
Consulte la figura siguiente. En términos de los vectores \( \mathbf {\vec A} \) y \( \mathbf {\vec B} \), exprese los vectores a) \( \mathbf {\vec P} \), b) \( \mathbf {\vec R} \) , c) \( \mathbf {\vec S} \) y d) \( \mathbf {\vec Q} \).
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2843;image)
Consulte la siguiente figura. En términos de los vectores \( \mathbf {\vec A} \) y \( \mathbf {\vec B} \), exprese los vectores a) \( \mathbf {\vec E} \), b) \( \mathbf {\vec D - \vec C} \) y c) \( \mathbf {\vec E + \vec D - \vec C} \).
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2845;image)
- Encuentre a) \( \mathbf {\vec A + \vec B + \vec C} \), b) \( \mathbf {\vec A - \vec B} \), y c) \( \mathbf {\vec A - \vec C} \) si \( \mathbf {\vec A} = 7 \mathbf {\hat i} + 6\mathbf {\hat j} \), \( \mathbf {\vec B} = -3 \mathbf {\hat i} + 12\mathbf {\hat j} \) y \( \mathbf {\vec C} = 4 \mathbf {\hat i} -4\mathbf {\hat j} \).
- Encuentre la magnitud y el ángulo de \( \mathbf {\vec R} \) si \( \mathbf {\vec R} = 7.0 \mathbf {\hat i} -12\mathbf {\hat j} \)
Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) Categoría de ejercicios: MUA -
fecha de calificación: Semana del 8 al 12 mayo 2023LA ACELERACIÓN mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Por consiguiente,\[ \text{Aceleración promedio} = \cfrac {\text{cambio en el vector de velocidad}}{\text{tiempo transcurrido}} \]\[ \mathbf{\vec a} = \cfrac{\mathbf{\vec v}_f - \mathbf{\vec v}_i} t \]donde \( \mathbf{\vec v}_i \) es la velocidad inicial, \( \mathbf{\vec v}_f \) es la velocidad final y \( t \) es el tiempo transcurrido durante el cambio. Las unidades de aceleración son unidades de velocidad divididas entre unidades de tiempo. Algunos ejemplos son \( (m/s)/s \) (o bien \( m/s^2 \)) y \( (km/h)/s \) (o bien \( km/h \cdot s \)). Hay que notar que la aceleración es una cantidad vectorial y tiene la dirección del cambio de velocidad, \( \mathbf{\vec v}_f - \mathbf{\vec v}_i \). No obstante, es común hablar de la magnitud de la aceleración diciendo solamente aceleración, siempre que no exista ambigüedad.
Cuando sólo interesan las aceleraciones tangenciales a la trayectoria recorrida, se conoce la dirección de la aceleración y se puede escribir la ecuación definitoria en forma escalar como:\[ a_{prom} = \cfrac{v_f - i_i} t \]
EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO es una situación importante. En este caso, el vector aceleración es constante y su línea de acción está a lo largo del vector desplazamiento, así que las direcciones de los vectores \( \mathbf{\vec v} \) y \( \mathbf{\vec a} \) se pueden indicar con signos positivos o negativos. Si el desplazamiento se representa con \( s \) (positivo si va en sentido normal de la trayectoria, y negativo si el sentido es opuesto al sentido normal de la trayectoria), el movimiento puede describirse con las cinco ecuaciones de movimiento para el movimiento uniformemente acelerado:\[ \begin{align}
s &= v_{prom} t \\
v_{prom} &= \cfrac {v_f + v_i} 2 \\
a &= \cfrac {v_f - v_i} t \\
v_f^2 &= v_i^2 + 2as \\
s &= s_0 + v_i t + \frac 1 2 a t^2
\end{align} \]Con frecuencia \( s \) se reemplaza con \( y \) o con \( x \) y algunas veces \( v_f \) y \( v_i \) se escriben como \( v \) y \( v_0 \), respectivamente.
LA DIRECCIÓN ES IMPORTANTE y debe escogerse el sentido positivo cuando se analiza un movimiento a lo largo de una línea recta. A cualquier dirección se le puede asignar el sentido positivo. Si un desplazamiento, velocidad o aceleración se plantea en sentido opuesto, éste debe tomarse como negativo.
LA INTERPRETACIÓN GRÁFICA del movimiento rectilíneo (por ejemplo, en la dirección del eje de las \( x \)) es como sigue:
- Una gráfica de distancia contra tiempo siempre es positiva (es decir, la gráfica está arriba del eje del tiempo). Tal curva nunca disminuye (es decir, nunca tiene una pendiente o una rapidez negativas). Sólo piense en el odómetro (https://es.wikipedia.org/wiki/Od%C3%B3metro) y en el medidor de rapidez de un automóvil (velocímetro).
- Debido a que el desplazamiento es una cantidad vectorial sólo se puede graficar contra el tiempo si se limita el movimiento a una línea recta y luego se emplean los signos más y menos para especificar una dirección. De acuerdo con esto, es una práctica común graficar el desplazamiento a lo largo de una línea recta contra el tiempo mediante ese esquema. Una gráfica que representa un movimiento a lo largo de, por ejemplo, el eje \( x \), puede ser o positiva (trazada encima del eje del tiempo) cuando el objeto está a la derecha del origen \( (x=0) \), o negativa (dibujada bajo el eje del tiempo) cuando el objeto está a la izquierda del origen (consulte la figura 2-1). La gráfica puede ser positiva y hacerse más positiva, o negativa y hacerse menos negativa. En ambos casos, la curva tendría una pendiente positiva y el objeto una velocidad positiva (se movería en la dirección \( x \) positiva). Además, la gráfica puede ser positiva y hacerse menos positiva, o negativa y hacerse más negativa. En estos dos casos, la curva tendría una pendiente negativa, y el objeto una velocidad negativa (se movería en la dirección \( x \) negativa).
- La velocidad instantánea de un objeto en un tiempo específico es la pendiente de la gráfica desplazamiento contra tiempo. Puede ser positiva, negativa o cero.
- La aceleración instantánea de un objeto en un tiempo específico es la pendiente de la gráfica velocidad contra tiempo en ese momento.
- Para un movimiento con velocidad constante, la gráfica de \( x \) contra \( t \) es una línea recta. Para un movimiento con aceleración constante, la gráfica de \( v \) contra \( t \) es una línea recta.
ACELERACIÓN DEBIDA A LA GRAVEDAD \( (g) \)
: La aceleración de un cuerpo que se mueve sólo por la atracción gravitacional es \( g \), la aceleración gravitacional (o de caída libre), la cual tiene dirección vertical hacia abajo. En la superficie de la Tierra tiene un valor de \( g=9.81 m/s^2 \) \( (=32.2 pies/s^2) \); este valor sufre ligeras variaciones de un lugar a otro. Como dato curioso, sobre la superficie de la Luna, el valor de la aceleración de caída libre es \( 1.6 m/s^2 \).
COMPONENTES DE LA VELOCIDAD: Supóngase que un objeto se mueve con una velocidad \( \mathbf{\vec v} \) que forma algún ángulo \( \theta \) hacia arriba del eje \( x \), como sería inicialmente el caso de una pelota lanzada al aire. Entonces esa velocidad tiene las componentes vectoriales \( x \) y \( y \) (véase la figura 1-7) de \( \mathbf{\vec v}_x \) y \( \mathbf{\vec v}_y \). Las componentes escalares correspondientes de la velocidad son\[ \begin{array}{ccc}v_x = v \cos \theta & \text y & v_y = v \sin \theta \end{array} \]y puede resultar que éstos sean números positivos o negativos, dependiendo de \( \theta \). Como regla, si \( \mathbf{\vec v} \) está en el primer cuadrante, \( v_x > 0 \) y \( v_y > 0 \); si \( \mathbf{\vec v} \) está en el segundo cuadrante, \( v_x < 0 \) y \( v_y > 0 \); si \( \mathbf{\vec v} \) está en el tercer cuadrante, \( v_x < 0 \) y \( v_y < 0 \); por último, si \( \mathbf{\vec v} \) está en el cuarto cuadrante, \( v_x > 0 \) y \( v_y < 0 \). Debido a que estas cantidades tienen signos y, por tanto, direcciones implicadas a lo largo de ejes conocidos, es común referirse a ellas como velocidades. El lector encontrará ese uso en muchos textos, pero no sin desventajas pedagógicas. En lugar de ello, se evitará aplicar el término "velocidad" a todo, excepto a una cantidad vectorial (escrita en negritas con una flecha arriba) cuya dirección se expresa de manera explícita. De este modo, para un objeto que se mueve con una
velocidad \( \mathbf{\vec v}=100 m/s \) hacia el \( \text {OESTE} \), el
valor escalar de la velocidad a lo largo del eje \( x \) es \( v=-100m/s \), y la
rapidez (o
magnitud de la velocidad, siempre positiva) es \( v=100 m/s \).
LOS PROBLEMAS DE PROYECTILES pueden resolverse fácilmente si se desprecia el rozamiento (fricción) con el aire. Para simplificar el problema se puede considerar el movimiento del proyectil como dos movimientos independientes: uno horizontal con \( a=0 \) y \( v_f = v_i = v_{prom} \) (es decir, con velocidad constante), y un movimiento vertical con \( a= g= 9.81m/s^2 \) dirigido hacia abajo.
EJERCICIOS
Problemas complementarios MUA: -
fecha de calificación: Semana del 15 al 19 de mayo 2023- Para el objeto cuyo movimiento se grafica en la figura 2-2 (https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2847;image), calcule su velocidad instantánea en los siguientes tiempos: a) 1.0 s, b) 4.0 s y c) 10 s.
- Un cuerpo con velocidad inicial de 8.0 m/s se mueve a lo largo de una línea recta con aceleración constante y recorre 640 m en 40 s. Para el intervalo de 40 s, encuentre: a) la velocidad promedio, b) la velocidad final y c) la aceleración.
- Un autobús parte del reposo y se mueve con una aceleración constante de 5.0 m/s². Encuentre su rapidez y la distancia recorrida después de transcurridos 4.0 s.
- Una caja se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con aceleración uniforme. Parte del reposo y alcanza una rapidez de 2.7 m/s en 3.0 s. Encuentre a) la aceleración y b) la distancia recorrida en los primeros 6.0 s.
- Un automóvil acelera uniformemente mientras pasa por dos puntos marcados que están separados 30 m. El tiempo que tarda en recorrer la distancia entre los dos puntos es de 4.0 s y la rapidez del automóvil en el primer punto marcado es de 5.0 m/s. Encuentre la aceleración del automóvil y su rapidez al llegar al segundo punto marcado.
- La velocidad de un automóvil aumenta uniformemente de 6.0 m/s a 20 m/s al recorrer una distancia de 70 m en línea recta. Calcule la aceleración y el tiempo transcurrido.
- Un aeroplano parte del reposo y acelera uniformemente en línea recta sobre el piso antes de elevarse. Recorre 600 m en 12 s. Encuentre: a) la aceleración, b) la rapidez al final de los 12 s y c) la distancia que recorre durante el duodécimo segundo.
- Un tren que corre a lo largo de una línea recta a 30 m/s frena uniformemente hasta detenerse en 44 s. Determine la aceleración y la distancia recorrida hasta detenerse.
- Un objeto que se mueve a 13 m/s frena uniformemente a razón de 2.0 m/s por cada segundo durante un tiempo de 6.0 s. Determine: a) su rapidez final, b) su rapidez promedio durante los 6.0 s y c) la distancia recorrida en los 6.0 s.
- Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Encuentre: a) su aceleración, b) la distancia que recorre en 3.0 s, c) su rapidez después de caer 70 m, d) el tiempo necesario para alcanzar una rapidez de 25 m/s y e) el tiempo que tarda en caer 300 m.
- Se deja caer una canica desde un puente y golpea el agua en un tiempo de 5.0 s. Calcule a) la rapidez con que choca contra el agua y b) la altura del puente.
- Se arroja una piedra hacia abajo en línea recta con una rapidez inicial de 8.0 m/s y desde una altura de 25 m. Encuentre a) el tiempo que tarda en llegar al piso y b) la rapidez con la que choca contra el piso.
- Se lanza una pelota de béisbol hacia arriba con una rapidez de 30 m/s. a) ¿Cuánto tiempo tarda en subir? b) ¿A qué altura llegará? c) ¿Cuánto tiempo tardará, a partir de que se separa de la mano, en regresar a su punto de partida? d) ¿Cuándo tendrá una rapidez de 16 m/s?
- Una botella que se deja caer desde un globo alcanza el piso en 20 s. Determine la altura del globo si: a) estuviera en reposo en el aire, b) ascendiera con una rapidez de 50 m/s cuando se deja caer la botella.
- Se dejan caer dos pelotas al piso desde diferentes alturas. Una se deja caer 1.5 s después de la otra, pero ambas golpean el piso al mismo tiempo, 5.0 s después de dejar caer la primera. a) ¿Cuál es la diferencia de alturas a la cual se dejaron caer? b) ¿Desde qué altura se dejó caer la primera pelota?
- Mientras un ascensor se mueve hacia arriba por un cubo a una velocidad de 3.00 m/s, se suelta una tuerca de un tornillo. La tuerca golpea el fondo del cubo del ascensor en 2.00 s. a) ¿A qué altura con respecto al fondo del cubo se encuentra el ascensor cuando se desprendió la tuerca? b) ¿Qué tan lejos del fondo estaba la tuerca 0.25 s después de salirse de su sitio?
- Una canica, que rueda con una rapidez de 20 cm/s, cae por el borde de una mesa que tiene una altura de 80cm. a) ¿Cuánto tiempo necesita para chocar con el piso? b) ¿A qué distancia horizontal del borde de la mesa chocará la canica contra el piso?
- Un cuerpo con rapidez inicial de 40 m/s se lanza hacia arriba desde el nivel del piso, con un ángulo de 50° con la horizontal. a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el cuerpo choque contra el piso? b) ¿A qué distancia del punto de partida golpeará el piso? c) ¿Cuál será el ángulo con la horizontal al chocar?
- Se lanza un cuerpo hacia abajo desde el punto más alto de un edificio de 170 m de altura, formando un ángulo de 30° con la horizontal. Su rapidez inicial es de 40 m/s. a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el cuerpo llegue al piso? b) ¿A qué distancia del pie del edificio golpeará? c) ¿Cuál será el ángulo con la horizontal al cual chocará?
- Una manguera que se encuentra tendida en el piso lanza una corriente de agua hacia arriba con un ángulo de 40° con la horizontal. La rapidez del agua es de 20 m/s cuando sale de la manguera. ¿A qué altura golpeará sobre una pared que se encuentra a 8.0 m de distancia?
DinámicaLeyes de Newton -
fecha de calificación: Semana del 23 al 26 de mayo 2023LA MASA de un objeto es una medida de su inercia. Se llama
inercia a la tendencia de un objeto en reposo a permanecer en este estado, y de un objeto en movimiento a continuarlo sin cambiar su velocidad. Durante varios siglos, los físicos habían encontrado útil concebir la masa como una representación de la cantidad de materia, pero esa idea ya no es sostenible (como se aprendió a partir de la Relatividad Especial).
EL KILOGRAMO PATRÓN es un objeto cuya masa se define como un kilogramo. Las masas de otros objetos se encuentran por comparación con esta masa. Un gramo masa equivale exactamente a 0.001 kg.
FUERZA, en general, es el agente del cambio. En mecánica, es aquello que cambia la velocidad de un objeto. La fuerza es una cantidad vectorial, que tiene magnitud y dirección. Una
fuerza externa es aquella cuya fuente se encuentra fuera del sistema que se está considerando.
LA FUERZA RESULTANTE que actúa sobre un objeto le proporciona una aceleración en la dirección de la fuerza. La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. (A partir de la Teoría Especial de la Relatividad, ahora se sabe que este enunciado en realidad es una aproximación excelente, aplicable a todas las situaciones donde la rapidez es apreciablemente menor que la de la luz, c.)
EL NEWTON es la unidad de fuerza en el SI. Un newton \( (1 N) \) es la fuerza resultante que proporciona a \( 1 kg \) una aceleración de \( 1 m/s2 \). La libra equivale a 4.45 N o, de manera alternativa, un newton es aproximadamente un cuarto de libra.
PRIMERA LEY DE NEWTON: Un objeto en reposo permanecerá en reposo; un objeto en movimiento seguirá moviéndose con velocidad constante, excepto en cuanto recibe la acción de una fuerza externa. La fuerza es lo que cambia el movimiento.
SEGUNDA LEY DE NEWTON: Como la enunció Newton, la segunda ley se estructuró en términos del concepto de cantidad movimiento. En este punto, el enfoque será sobre una variación menos fundamental, pero muy útil. Si la fuerza resultante (neta) \( \mathbf {\vec F} \) que actúa sobre un objeto de masa \( m \) no es cero, el objeto se acelerará en la dirección de 1a fuerza. La aceleración \( \mathbf {\vec a} \) es proporcional a primera fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. Con \( \mathbf {\vec F} \) en newtons, \( m \) en kilogramos y \( \mathbf {\vec a} \) en \( m/s^2 \), esta proporcionalidad se puede escribir como una ecuación:\[ \mathbf {\vec a}=\frac {\mathbf {\vec F}}{m}~~~ \text ó ~~~ \mathbf {\vec F}=m \mathbf {\vec a} \]
La aceleración \( \mathbf {\vec a} \) tiene la misma dirección que la fuerza resultante \( \mathbf {\vec F} \).
La ecuación vectorial \( \mathbf {\vec F}=m \mathbf {\vec a} \) puede escribirse en términos de sus componentes como\[ \sum F_x = ma_x ~~~~ \sum F_y = ma_y ~~~~ \sum F_z = ma_z \]
TERCERA LEY DE NEWTON: La materia interactúa con la materia; las fuerzas se presentan en pares.
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, existe otra igual, pero en sentido opuesto, actuando sobre algún otro cuerpo. Con frecuencia a ésta se le llama
ley de acción y reacción. Note que las fuerzas de acción y reacción actúan en los dos diferentes cuerpos que interactúan.
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL: Cuando dos masas \( m_1 \) y \( m_2 \) interactúan gravitacionalmente se atraen entre sí con fuerzas de igual magnitud. Para masas puntuales (o cuerpos con simetría esférica), la fuerza de atracción \( F_G \) está dada por\[ F_G=G \frac {m_1 \times m_2}{r^2} \]Donde \( r \) es la distancia entre los centros de las masas, y \( G = 6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2 \) cuando \( F_G \) está en newtons, \( m_1 \) y \( m_2 \) están en kilogramos y \( r \) está en metros.
EL PESO de un cuerpo \( (F_W) \) es la fuerza gravitacional que atrae al cuerpo. En la Tierra, es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre el cuerpo. Sus unidades son newtons (en el SI) y libras (en el sistema británico). Debido a que la Tierra no es una esfera uniforme perfecta, y sobre todo más por su rotación, el peso medido por una balanza (con frecuencia llamado
peso efectivo) será diferente, de manera muy ligera, del que se acaba de definir.
RELACIÓN ENTRE MASA Y PESO: Un cuerpo de masa \( m \) en caída libre hacia la Tierra está bajo la acción de una sola fuerza, la atracción gravitacional, a la que se conoce como peso \( F_W \) del objeto. La aceleración \( g \) que tiene un objeto en caída libre se debe a su peso \( F_W \). Entonces, la ecuación \( \mathbf {\vec F}=m \mathbf {\vec a} \) da la relación entre \( F = F_W \), \( a = g \) y \( m \); esto es, \( F_W = mg \). Como en la superficie terrestre, en promedio, \( g = 9.81 m/s^2 \), un objeto de \( 1.00 kg \) pesa \( 9.81N \) (o \( 2.20 lb \)).
FUERZA DE TENSIÓN \( (\vec {F}_T) \) es la fuerza con la que una cuerda o cadena tira del objeto al cual está unida. La magnitud de la fuerza de tensión es la
tensión \( (F_T) \).
FUERZA DE FRICCIÓN \( (\vec {F}_f) \) es una fuerza tangencial que actúa sobre una superficie que se opone al deslizamiento de la superficie a través de una superficie adyacente. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta, en sentido, a su movimiento. Un objeto empezará a resbalar sólo cuando la fuerza aplicada sobrepase la fuerza máxima de fricción estática.
FUERZA NORMAL \( (\vec {F}_N) \) sobre una superficie que descansa sobre una segunda superficie, es la componente perpendicular de la fuerza ejercida por la superficie de soporte sobre la superficie que está siendo soportada.
COEFICIENTE DE FRICCIÓN CINÉTICA \( (\mu_c) \) se define para el caso en el que una superficie se desliza a través de otra con rapidez constante. Esto es\[ \mu_c=\frac {\text {fuerza de fricción}}{\text {fuerza normal}} = \frac {F_f}{F_N} \]
EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN ESTÁTICA \( ( \mu_e ) \) se define para el caso en donde una superficie está a punto de deslizarse a través de otra superficie. Esto es\[ \mu_e=\frac {\text {fuerza de fricción crítica}}{\text {fuerza normal}} = \frac {F_f \text{ (máx)}}{F_N} \]donde la fuerza de fricción máxima es la fuerza de fricción cuando el objeto está a punto de iniciar su desplazamiento.
Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre un cuerpo en el punto O presentado en la figura 3-1a. Determine su resultante de manera gráfica.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2859;image)
Las cinco fuerzas coplanares presentadas en la figura 3-2a actúan sobre un objeto. Encuentre su resultante.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2861;image)
- Resuelva el problema (1) mediante el método de componentes. Obtenga una respuesta con una magnitud de dos cifras significativas.
- Una fuerza de 100 N hace un ángulo de \( \theta \) con el eje \( x \) y tiene una componente y escalar de 30 N. Encuentre la componente \( x \) escalar de la fuerza y el ángulo \( \theta \).
- Un niño jala una cuerda atada a un trineo con una fuerza de 60 N. La cuerda hace un ángulo de 40° con el suelo. a) Calcule el valor real del tirón que tiende a mover el trineo por el suelo. b) Calcule la fuerza que tiende a elevar el trineo verticalmente.
- Un automóvil que pesa \( F_W \) está en una rampa que tiene un ángulo \( \theta \) con la horizontal. ¿Cuál es la intensidad de la fuerza perpendicular que debe soportar la rampa para que no se rompa bajo el peso del automóvil?
- Tres fuerzas que actúan sobre una partícula están dadas mediante \( \mathbf {\vec F_1} = (20 \mathbf {\hat i} -36\mathbf {\hat j}+73\mathbf {\hat k})N \), \( \mathbf {\vec F_2} = (-17 \mathbf {\hat i} +21\mathbf {\hat j}-43\mathbf {\hat k})N \). Encuentre su vector resultante. Determine también la magnitud de la resultante con dos cifras significativas.
- Encuentre el peso de un cuerpo, si su masa en la Tierra es a) 3.00 kg, b) 200 g.
- A un objeto de 20.0 kg que se mueve libremente se le aplica una fuerza resultante de 45.0 N en la dirección \( -x \). Calcule la aceleración del objeto.
El objeto que se muestra en la figura 3-7a pesa 50 N y está suspendido por una cuerda. Encuentre el valor de la tensión en la cuerda.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2863;image)
- Un objeto de 5.0 kg se jala hacia arriba con una cuerda acelerándolo a 0.30 m/s². ¿Cuál debe ser la tensión en la cuerda?
- Se necesita una fuerza horizontal de 140 N para jalar una caja de 60.0 kg sobre un piso horizontal con rapidez constante. ¿Cuál es el coeficiente de fricción entre el piso y la caja? Determínelo a tres cifras significativas, aun cuando esto no sea muy realista.
- La única fuerza que actúa sobre un objeto de 5.0 kg tiene por componentes \( F_x = 20 N \) y \( Fy = 30 N \). Encuentre la aceleración del objeto.
- Se desea aplicar una aceleración de 0.70 m/s² a un objeto de 600 N. ¿De qué magnitud debe ser la fuerza no balanceada que actúa sobre él?
- Una fuerza constante actúa sobre un objeto de 5.0 kg y disminuye su velocidad de 7.0 m/s a 3.0 m/s en un tiempo de 3.0 s. Encuentre la fuerza.
- Un bloque de 400 g con rapidez inicial de 80 cm/s resbala sobre la cubierta de una mesa horizontal en contra de una fuerza de fricción de 0.70 N. a) ¿Qué distancia recorrerá resbalando antes de detenerse? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción entre el bloque y la cubierta de la mesa?
- Un automóvil de 600 kg de peso se mueve en un camino nivelado a 30 m/s. a) ¿Qué tan grande debe ser la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que se requiere para detener al automóvil en una distancia de 70 m? b) ¿Cuál es el mínimo coeficiente de fricción entre las llantas y el camino para que esto suceda? Suponga que las ruedas no están trabadas, en cuyo caso se trata con fricción estática; no hay resbalamiento.
- Una locomotora de 8000 kg tira de un tren de 40 000 kg a lo largo de una vía nivelada y le proporciona una aceleración \( a_1 = 1.20 m/s^2 \). ¿Qué aceleración \( (a_2) \) le proporcionaría a un tren de 16 000 kg?
En la figura 3-11a un objeto de masa m está colgado de una cuerda. Calcule la tensión en la cuerda si el objeto a) está en reposo, b) se mueve con velocidad constante, c) acelera hacia arriba con una aceleración \( a= \frac {3g}{2} \) y d) acelera hacia abajo con \( a = 0.75g \).
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2865;image)
- Una cuerda de remolque se romperá si la tensión sobre ella excede los 1500 N. Se utilizará para remolcar un automóvil de 700 kg a lo largo de un piso nivelado. ¿Cuál es el valor máximo de la aceleración que se puede aplicar al automóvil con esta cuerda?
- Calcule la aceleración mínima con la que una mujer de 45 kg se desliza por una cuerda, si la cuerda sólo puede soportar una tensión de 300 N.
Una caja de 70 kg resbala a lo largo de un piso debido a una fuerza de 400 N, como se muestra en la figura 3-13. El coeficiente de fricción entre la caja y el piso cuando la caja resbala es de 0.50. Calcule la aceleración de la caja.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2867;image)
Suponga, como se muestra en la figura 3-14, que una caja de 70 kg se jala con una fuerza de 400 N que
forma un ángulo de 30° con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética es 0.50. Calcule la aceleración de la caja.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2869;image)
- Un automóvil que se mueve a 20 m/s en un camino horizontal aplica de manera repentina los frenos y finalmente llega al reposo. ¿Cuál es la distancia más corta en que puede detenerse si el coeficiente de fricción entre las llantas y el camino es de 0.90? Suponga que todas las llantas frenan idénticamente y que los frenos no traban la detención del automóvil mediante la fricción estática.
Como se muestra en la figura 3-15, una fuerza de 400 N empuja una caja de 25 kg. Partiendo del reposo,
la caja alcanza una velocidad de 2.0 m/s en un tiempo de 4.0 s. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre la caja y el piso.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2871;image)
- Se tira de una vagoneta de 200 N, con rapidez constante, hacia arriba de un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal. ¿Qué tan grande debe ser la fuerza paralela al plano inclinado, si se desprecian los efectos de la fricción?
Una caja de 20 kg reposa sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura 3-17. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano inclinado es 0.30. Calcule la aceleración con la que desciende la caja por el plano inclinado.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2873;image)
Cuando una fuerza de 500 N empuja una caja de 25 kg, como se muestra en la figura 3-18, la aceleración de la caja al subir por el plano es 0.75 m/s². Calcule el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2877;image)
Dos bloques, de masas \( m_1 \) y \( m_2 \) , son empujados por una fuerza \( F \) como se muestra en la figura 3-19. El coeficiente de fricción entre cada bloque y la mesa es 0.40. a) ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza \( F \) si los bloques han de tener una aceleración de 200 cm/s²? b) ¿Qué fuerza ejerce \( m_1 \) sobre \( m_2 \) ? Utilice \( m_1 = 300 g \) y \( m_2 = 500 g \). Recuerde trabajar en unidades del Sistema Internacional.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2875;image)
Una masa de 7.0 kg cuelga del extremo de una cuerda que pasa por una polea sin masa ni fricción, y en el otro extremo cuelga una masa de 9.0 kg, como se muestra en la figura 3-20. (Este arreglo se llama máquina de Atwood.) Encuentre la aceleración de las masas y la tensión en la cuerda.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2879;image)
Equilibrio bajo la acción de fuerzas concurrentes -
fecha de calificación: Semana del 29 de mayo al 2 junio de 2023LAS FUERZAS CONCURRENTES son todas las fuerzas cuyas líneas de acción pasan a través de un punto común. Las fuerzas que actúan sobre un objeto puntual son concurrentes porque todas ellas pasan a través del mismo punto, que es el objeto puntual.
UN OBJETO ESTÁ EN EQUILIBRIO bajo la acción de fuerzas concurrentes, siempre que no se esté acelerando.
LA PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO requiere que \( \sum \vec {\mathbf F} = 0 \), o bien, en forma de componentes, que\[ \sum F_x = \sum F_y = \sum F_z = 0 \]Es decir, la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto debe ser cero. Esta condición es suficiente para el equilibrio cuando las fuerzas externas son concurrentes. Una segunda condición debe satisfacerse si el objeto permanece en equilibrio bajo la acción de fuerzas no concurrentes; esto se estudiará en la sección siguiente (https://viviraprendiendo.co/index.php?topic=469.msg2295#msg2295).
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (FUERZAS CONCURRENTES):- Aísle el objeto por estudiar.
- Muestre, en un diagrama, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado (diagrama de cuerpo libre).
- Encuentre las componentes rectangulares de cada fuerza.
- Escriba la primera condición de equilibrio en forma de ecuación.
- Resuelva para determinar las cantidades requeridas.
EL PESO DE UN OBJETO \( (\vec {F}_W ) \) es la fuerza con que la gravedad tira al cuerpo hacia abajo.
LA FUERZA DE TENSIÓN \( (\vec {F}_T ) \) es la fuerza que actúa sobre una cuerda, un cable o una cadena (o, de hecho, sobre cualquier miembro estructural) y que tiende a alargarlo. La magnitud escalar de la fuerza de tensión es la
tensión \( (F_T ) \).
FUERZA DE FRICCIÓN \( (\vec {F}_f ) \) es una fuerza tangencial que actúa sobre un objeto que se opone al deslizamiento del objeto a través de una superficie adyacente con la que está en contacto. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta, en sentido, a su movimiento o del movimiento inminente.
LA FUERZA NORMAL \( (\vec {F}_N ) \) sobre un objeto que descansa por una superficie es la componente de la fuerza de soporte que es perpendicular a la superficie.
POLEAS: Cuando un sistema de varias poleas ligeras sin fricción tiene una cuerda simple continua alrededor de él, la tensión en cada
trozo de la cuerda es igual a la fuerza aplicada al extremo de la cuerda \( (F) \) por algún agente externo. Así, cuando la carga es soportada por \( N \) trozos de esta cuerda, la fuerza neta entregada a la cuerda, la fuerza suministrada, es \( N \cdot F \). Con frecuencia, la polea adjunta a la carga se mueve con la carga y sólo es necesario contar el número de trozos de la cuerda \( (N) \) que actúan sobre dicha polea para determinar la fuerza suministrada.
En la figura 4-1a la tensión en la cuerda horizontal es de \( 30 N \). Encuentre el peso del objeto.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2881;image)
Una cuerda se extiende entre dos postes. Un joven de \( 90 N \) se cuelga de la cuerda como se muestra en la figura 4-2a. Encuentre las tensiones en las dos secciones de la cuerda.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2883;image)
Una caja de \( 50 N \) se desliza sobre el piso con rapidez constante por medio de una fuerza de \( 25 N \), como se muestra en la figura 4-3a. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción que se opone al movimiento de la caja? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal? c) Determine \( \mu_c \) entre la caja y el piso.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2885;image)
Determine las tensiones de las cuerdas que se muestran en la figura 4-4a, si el objeto soportado pesa \( 600 N \).
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2887;image)
Los objetos de la figura 4-5 están en equilibrio. Determine el valor de la fuerza normal \( F_N \) en cada caso.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2889;image)
- Para las situaciones del problema 4.5, determine el coeficiente de fricción cinética si el objeto se mueve con rapidez constante. Redondee sus respuestas a dos cifras significativas.
- Suponga que el bloque que se encuentra en la figura 4-5c está en reposo. El ángulo del plano se aumenta lentamente. A un ángulo \( \theta=42° \), el bloque comienza a deslizarse. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano inclinado? (El bloque y la superficie no son los mismos de los problemas 5 y 6.)
Jalado por un bloque de \( 8.0 N \), como se muestra en la figura 4-6a, un bloque de \( 20 N \) se desliza hacia la derecha con velocidad constante. Calcule \( \mu_c \) entre el bloque y la mesa. Suponga que la fricción en la polea es despreciable.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2891;image)
La carga que aparece en la figura 4-7 cuelga en reposo. Asumiendo que todas las cuerdas están verticales y las poleas no tienen peso ni fricción. a) ¿Cuántos segmentos de la cuerda soportan la combinación de la polea y la cuerda inferior? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda que se enreda en las poleas? c) ¿Cuánta fuerza ejerce la persona? d) ¿Cuánta fuerza actúa hacia abajo sobre el gancho del techo?
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2893;image)
- En la figura 4-8 aparece una carga de \( 600 N \) que cuelga sin movimiento. Suponga que las cuerdas están todas verticales y que las poleas no tienen fricción ni peso. a) ¿Cuál es la tensión en el gancho inferior unido, mediante un anillo, a la carga? b) ¿Cuántas partes de la cuerda soportan la polea móvil? c) ¿Cuál es la tensión a lo largo de la cuerda? d) ¿Cuánta fuerza aplica la persona? e) ¿Cuánta fuerza actúa hacia abajo en el techo?
Para la situación mostrada en la figura 4-9, encuentre los valores de \( F_{T1} \) y \( F_{T2} \) si el peso del objeto es de \( 600 N \).
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2895;image)
- Las fuerzas coplanares siguientes tiran sobre un anillo: \( 200 N \) a \( 30.0° \), \( 500 N \) a \( 80.0° \), \( 300 N \) a \( 240° \) y una fuerza desconocida (que llamaremos \( F_x \)). Encuentre la fuerza y la dirección de la fuerza desconocida si el anillo está en equilibrio.
En la figura 4-10 las poleas no tienen fricción y el sistema cuelga en equilibrio. Si \( F_{W3} \), el peso del objeto ubicado a la derecha, es de \( 200 N \), ¿cuáles son los valores de \( F_{W1} \) y \( F_{W2} \)?
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2897;image)
- En la figura 4-11, ¿cuánto debe pesar el objeto que está a la derecha si el bloque de \( 200 N \) permanece en reposo y la fricción entre el bloque y la pendiente es despreciable?
- El sistema de la figura 4-11 permanece en reposo cuando \( F_W = 220 N \). ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza de fricción en el bloque de \( 200 N \)?
Encuentre la fuerza normal que actúa sobre el bloque en cada una de las situaciones de equilibrio que se muestran en la figura 4-12
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2899;image)
- El bloque que se muestra en la figura 4-12a se desliza con una rapidez constante bajo la acción de la fuerza mostrada. a) ¿Cuán grande es la fuerza de fricción retardadora? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie?
- El bloque que se muestra en la figura 4-12b se desliza hacia abajo con rapidez constante. a) ¿De cuánto es la fuerza de fricción que se opone a su movimiento? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción de deslizamiento (cinética) entre el bloque y el plano?
- El bloque de la figura 4-12c empieza a deslizarse hacia arriba de la pendiente cuando la fuerza de empuje mostrada se incrementa a \( 70 N \). a) ¿Cuál es la fuerza de fricción estática máxima sobre él? b) ¿Cuál es el valor del coeficiente de fricción estática?
Si \( F_W = 40 N \) en la situación de equilibrio que se muestra en la figura 4-13, encuentre \( F_{T1} \) y \( F_{T2} \).
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2901;image)
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS COPLANARES
fecha de calificación: Semana del 5 al 9 de junio 2023
~ TEMA DE EVALUACIÓN ~
El torque (O MOMENTO DE TORSIÓN) \( \mathbf {(\tau)} \) alrededor de un eje, debida a una fuerza, es una medida de la efectividad de la fuerza para que ésta produzca una rotación alrededor de un eje. El torque se define de la siguiente forma: \[ \text {Torque} = \tau = rF sen \theta \]donde \( r \) es la distancia radial desde el eje al punto de aplicación de la fuerza y \( \theta \) es el ángulo agudo entre las direcciones de \( \mathbf{\vec {r}} \) y de \( \mathbf {\vec {F}} \), como se muestra en la figura 5-1a. Con frecuencia, esta definición se escribe en términos del brazo de palanca de la fuerza, que es la distancia perpendicular desde el eje a la línea de acción de la fuerza, como se muestra en la figura 5-1b. Como el brazo de palanca es igual a \( r sen \theta \), la ecuación del torque se reescribe como:\[ \tau = \text{(F) (brazo de palanca)} \]Las unidades del torque son newton-metro \( (N \cdot m) \). El torque puede ser positivo o negativo; es positivo cuando la rotación alrededor del eje es en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj y negativo cuando la rotación es en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del reloj.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2903;image)
de un cuerpo rígido bajo la acción de fuerzas coplanares son:
- La primera o condición de la fuerza: La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo debe ser cero:\[ \sum F_x = 0 \qquad \sum F_y = 0 \]donde se ha tomado al plano \( xy \) como el plano de las fuerzas coplanares.
- La segunda o condición del torque: Tome un eje perpendicular al plano de las fuerzas coplanares. Todas los torques que tienden a producir una rotación en el sentido del reloj onsidérelos como negativas, y las que producen una rotación contra el sentido del reloj, como positivas; la suma de todas las torcas que actúan sobre el objeto debe ser cero:\[ \sum \tau = 0 \]
EL CENTRO DE GRAVEDAD de un objeto es el punto en el cual se puede considerar que está concentrado todo su peso; esto es, la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad. Una sola fuerza vertical y dirigida hacia arriba, igual en magnitud al peso del objeto y aplicada en el centro de gravedad, mantendrá al cuerpo en equilibrio.
LA POSICIÓN DE LOS EJES ES ARBITRARIA: Si la suma de los torques es cero en torno a un eje determinado para un cuerpo que cumple la condición de fuerza, será cero para todo eje paralelo al primero. Generalmente se escoge el eje de tal forma que la línea de acción de la fuerza desconocida pase por la intersección del eje de rotación y el plano de las fuerzas. Entonces el ángulo \( \theta \) entre \( \mathbf{\vec {r}} \) y \( \mathbf {\vec {F}} \) es cero; en consecuencia, dicha fuerza desconocida particular ejerce un torque cero y por tanto no aparece en la ecuación del torque.
Calcule el torque alrededor del eje A (que es perpendicular a la página) en la figura 5-2 debida a cada una de las fuerzas indicadas.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2905;image)
Una viga metálica uniforme de longitud \( L=1m \) pesa \( 200 N \) y sostiene un objeto de \( 450 N \) como se muestra en la figura 5-3. Calcule la magnitud de las fuerzas que ejercen sobre la viga las columnas de apoyo colocadas en los extremos. Suponga que las longitudes son exactas.
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Un tubo uniforme de \( 100 N \) se utiliza como palanca, como se muestra en la figura 5-4. ¿Dónde se debe colocar el fulcro (punto de apoyo) si un peso de \( 500 N \) colocado en un extremo se debe balancear con uno de \( 200 N \) colocado en el otro extremo? ¿Cuál es la fuerza de reacción que ejerce el punto de apoyo en el tubo? (Asumir la longitud del tubo como \( L=2m \))
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- ¿En qué punto de una pértiga rígida, uniforme y horizontal de \( 100 N \) se debe colgar un objeto de \( 0.80 kN \), de tal forma que una niña, colocada en uno de los extremos, sostenga un tercio de lo que soporta una mujer colocada en el otro extremo?
- En un tablón uniforme de \( 0.20 kN \) y longitud \( L=1.5m \) se cuelgan dos objetos: \( 300 N \) a \( L/3 \) de un extremo, y \( 400N \) a \( 3L/4 \) a partir del mismo extremo. ¿Qué otra fuerza debe aplicarse y en qué posición para que el tablón se mantenga en equilibrio?
La escuadra (regla de ángulo recto) que se muestra en la figura 5-7 cuelga en reposo de una clavija. Está fabricada con una hoja de metal uniforme. Uno de los brazos tiene una longitud de \( L=50 cm \) y el otro tiene \( 100 cm \) de longitud. Calcule (a dos cifras significativas) el ángulo \( \theta \) que forma cuando está colgada.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2911;image)
Examine el diagrama que se muestra en la figura 5-8a. La viga uniforme de \( 0.60 kN \) está sujeta a un gozne (pivote) en el punto \( P \). Calcule la tensión en la cuerda y las componentes de la fuerza de reacción que ejerce el gozne sobre la viga. Dé sus respuestas con dos cifras significativas.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2913;image)
Un asta de densidad uniforme y \( 0.40 kN \) está suspendida como se muestra en la figura 5-9a. Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza que ejerce el pivote en \( P \) sobre el asta.
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2915;image)
En la figura 5-10, las bisagras \( A \) y \( B \) mantienen una puerta uniforme de \( 400 N \) en su lugar. La bisagra superior sostiene todo el peso de la puerta. Calcule las fuerzas ejercidas en las bisagras sobre la puerta. El ancho de la puerta es \( h/2 \), donde \( h \) es la separación entre las bisagras.
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Una escalera se recarga contra una pared lisa, como se muestra en la figura 5-11. (Por pared "lisa" se debe entender que la pared sólo ejerce sobre la escalera una fuerza que es perpendicular a la pared. No existe fuerza de fricción.) La escalera pesa \( 200N \) y su centro de gravedad está a \( 0.40L \) desde el pie y a lo largo de la escalera, \( L \) es la longitud de la escalera y esta mide \( 3m \). a) ¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza de fricción al pie de la escalera para que ésta no resbale? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática?
(https://viviraprendiendo.co/index.php?action=dlattach;topic=469.0;attach=2919;image)