LAS MATEMÁTICAS DE LOS VIDEOJUEGOS. EL PLANO CARTESIANO.
En un principio, la geometría pura (que puede identificarse como la geometría estudiada por los antiguos griegos, por ejemplo) se encargaba de analizar las cualidades de las figuras conocidas por el hombre. El cuadrado, triángulo, rectángulo, paralelogramo, entre otras, fueron figuras que estuvieron entonces en el ojo del huracán durante esta época y los resultados de estos grandes pensadores tuvieron tanta importancia que hoy en día seguimos usándolos para ejemplificar situaciones comunes y para comenzar el estudio de la matemática en sí.
A esa era pertenecen los trabajos desarrollados por Tales de Mileto (siglo VII a.C.), quien estableció, entre otras cosas, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; Pitágoras de Samos (siglo VI a.C.), a quien debemos el famoso teorema que lleva su nombre (el cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa) y Euclides (siglo IV a.C.), quien construyó la geometría partiendo de definiciones y axiomas que le permitieron establecer varios teoremas.
Sin embargo, las limitaciones de esta geometría salieron a la luz en siglos posteriores y la necesidad de establecer un nuevo sistema geométrico propició el surgimiento y posterior aceptación del trabajo de un joven matemático que encabezó una revolución no sólo en matemáticas sino en la filosofía de la ciencia: René Descartes.
Lo que Descartes hizo fue combinar la concepción geométrica de las cosas junto con una interpretación algebraica de las mismas, creando una poderosa herramienta para abstraer el mundo que nos rodea y llevarlo así al contexto de los números: el plano cartesiano. Pero, ¿qué es?
La idea detrás de éste es increíblemente sencilla pero muy creativa. Si partimos del concepto intuitivo de línea recta, la interrogante natural resultante refiere a la forma en que podemos asociar números con los diferentes puntos que la línea puede contener. Es decir, si se tiene la línea denotada por la letra k, ¿cómo podemos crear un sistema numérico sobre ella?Asumiendo que queremos trabajar con los números naturales para comenzar (es decir, los números 0, 1, 2, 3, 4, etc.), podemos entonces abordar el problema de la siguiente manera. Puesto que una recta puede extender su longitud todo lo que deseemos, es natural pensar en una con longitud infinita. Supongamos que dicha recta es, en efecto, la línea k. Como no existe ninguna división en la línea y ésta es infinita, podemos elegir cualquier lugar de ella como punto de partida.Asociamos entonces a este punto inicial el número 0 y posteriormente establecemos un espacio de separación que servirá de medida para colocar los demás puntos que serán asociados con el resto de los números. De este modo podemos ubicar al 1, -1, 2, -2, etc., sin problemas.Al final del proceso tendremos una línea recta k, dividida en secciones que representan a cada uno de los números que conocemos de siempre. La idea de Descartes fue entonces llevar esto un paso más allá y extenderlo al considerar dos rectas con estas características, formando así su afamado plano.De esta forma podemos ubicar un punto con exactitud sin tener que depender de la interpretación o la intuición. Cada punto es representado por un par ordenado de coordenadas (x,y) y la operación principal sobre una recta pasará también al plano, es decir, la distancia entre cualesquiera dos puntos.Entonces, ¿cómo se relaciona esto con los videojuegos? La aplicación del concepto es tan directa que siempre la pasamos por alto. Veamos algunos ejemplos.
Como sabemos de toda la vida, el mapa tiene por función mostrarnos dónde se encuentran los diferentes puntos de interés; ya sea los niveles de un plataformas, los lugares especiales en un RPG o la simple ubicación de nuestro personaje en un juego de estrategia, el recurso del mapa cumple una función primordial al momento de la aventura y de su exactitud depende su éxito o fracaso.
Sin embargo, esta herramienta tan habitual en cualquier título es en realidad un plano cartesiano disfrazado con bonitas texturas y esconde una serie de puntos, junto con sus coordenadas, que mantienen la exactitud y coherencia del juego durante toda la partida. Sin esta ayuda detrás, nuestros intentos por encontrar una locación particular serían más largos, tediosos y confusos, pues no contaríamos con una referencia exacta de hacia dónde tenemos que ir ni por cuánto tiempo.Cada edificio en, por ejemplo, Fallout 3, se encuentra identificado (a nivel de código) por un punto cuyas coordenadas son únicas y éstas no cambian (a menos que la historia del juego lo permita) en ningún momento de la partida. Cuando comenzamos a jugar, sabemos dónde está Megaton y éste nunca se moverá (si no lo destruimos claro...).Ahora consideremos el juego de plataformas por excelencia: Super Mario Bros. Siendo un juego de avance lateral en 2D, que requiere saltar y esquivar enemigos en tiempo real, la necesidad por un plano que permita identificar en qué punto exacto comienza una plataforma y en cuál termina es innegable. De este modo, cuando vemos la plantilla utilizada para diseñar alguno de sus niveles estamos apreciando en realidad la aplicación de la geometría.
El camino por donde pasará Mario está bien determinado por las coordenadas de los puntos que sirven como suelo y para que el juego pueda saber dónde está cada enemigo requiere también una lista de las coordenadas donde cada uno de ellos puede avanzar, después de todo, no todos los enemigos pueden cruzar los abismos de los niveles ni tampoco todos pueden volar.
Al final del día, cada uno de los niveles puede ser visto como un gran plano cartesiano rectangular donde los sectores de plataformas y enemigos están asociados a conjuntos de puntos que describen dichas figuras así como sus movimientos.Pero, ¿qué pasa con los juegos en 3D? ¿Puede aplicarse también la geometría en, digamos, un juego de acción en tercera persona? Por supuesto que sí, vayamos ahora a las sangrientas e inestables tierras de Gears of War (aunque en realidad funciona para cualquier otro título del género).
Cuando entramos a una partida multijugador en Gears of War nos encontramos, primero que nada, con un mapa del lugar donde se desarrollan las acciones, así que de inicio la geometría se encuentra presente en la forma que tiene la arena de juego. Cada obstáculo y paso libre es identificado por un conjunto de puntos que son reconocidos por el juego y transformados en los objetos que vemos al jugar.
Los jugadores (vistos desde una perspectiva superior, es decir, con una cámara "aérea"), por otro lado, son etiquetados por un punto cuyo movimiento es siempre registrado por el juego dentro del plano cartesiano asociado al nivel. De este modo el juego sabe la distancia que existe entre los jugadores al momento de realizar un disparo y cómo éste afectará a quien lo recibe. Si no se cuenta con una referencia numérica para la posición de dos personajes que se enfrentan en un tiroteo, no se puede determinar quién tiene oportunidad de, por ejemplo, acabar a su rival con una escopeta o una granada (el rango de efectividad de las armas sería incierto).Finalmente, otro ejemplo clásico de geometría lo podemos hallar en el juego deportivo por excelencia (si, debo aceptarlo aunque no me agrade): FIFA. Para mantener la coherencia en cualquier partido se necesita restringir el movimiento de los jugadores a un área específica, que para los fines de este título es el campo de juego. Es decir, el plano cartesiano es el terreno de juego y sus ejes son dos de los lados del mismo. Además, puesto que la forma del campo es rectangular, es posible aprovechar los teoremas conocidos para tales figuras y usarlos al momento de programar el movimiento de cada jugador.
Ahora, es claro que en cada uno de los ejemplos anteriores, el plano cartesiano es indispensable y sin él la estructura misma del videojuego se vería comprometida. Sin embargo, también es necesario mencionar que este es solo uno de los conceptos que la geometría otorga al desarrollo de estas grandes aventuras digitales. Otras ideas igualmente importantes son la distancia, el concepto de lugar geométrico o la simulación de movimientos mediante ecuaciones de trayectorias. El tratamiento de los cuerpos (vistos como volúmenes) pertenece también a la geometría, en ese caso, geometría del espacio, y la manipulación coherente de las figuras que lleguen a ser necesarias dentro del juego, proviene de la geometría pura.
Puede decirse entonces que la geometría es una gran constante en los juegos que tanto amamos y su comprensión es vital para conseguir buenos resultados. En gran medida, el éxito o fracaso de un título particular se debe al buen o mal uso de los resultados establecidos por la geometría analítica, pues la sensación de juego se ve afectada directamente por ésta.Hasta aquí mi ligera explicación sobre esta noble rama de las matemáticas. Por supuesto, he obviado detalles oscuros (como los diferentes tipos de geometría que hay) y delicadezas propias de los métodos usados para la construcción del plano cartesiano, pero como comenté en el artículo anterior, siempre es mejor tener una idea sencilla con la cual iniciar la comprensión de un tema y no comenzar con una complejidad que solo dificulta nuestro entendimiento. En posteriores artículos hablaremos sobre distancia, geometría en el espacio y sabrosuras matemáticas listas para asombrarnos con su elegancia. Gracias y hasta la próxima.
(Esto se tendrá
en cuenta mayormente para saber la ubicación de diseños y demás cosas en especial en los espacios )
https://elpixelamplificado.wordpress.com/2017/06/13/las-matematicas-de-los-videojuegos-el-plano-cartesiano/
En un principio, la geometría pura (que puede identificarse como la geometría estudiada por los antiguos griegos, por ejemplo) se encargaba de analizar las cualidades de las figuras conocidas por el hombre. El cuadrado, triángulo, rectángulo, paralelogramo, entre otras, fueron figuras que estuvieron entonces en el ojo del huracán durante esta época y los resultados de estos grandes pensadores tuvieron tanta importancia que hoy en día seguimos usándolos para ejemplificar situaciones comunes y para comenzar el estudio de la matemática en sí.
A esa era pertenecen los trabajos desarrollados por Tales de Mileto (siglo VII a.C.), quien estableció, entre otras cosas, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; Pitágoras de Samos (siglo VI a.C.), a quien debemos el famoso teorema que lleva su nombre (el cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa) y Euclides (siglo IV a.C.), quien construyó la geometría partiendo de definiciones y axiomas que le permitieron establecer varios teoremas.
Sin embargo, las limitaciones de esta geometría salieron a la luz en siglos posteriores y la necesidad de establecer un nuevo sistema geométrico propició el surgimiento y posterior aceptación del trabajo de un joven matemático que encabezó una revolución no sólo en matemáticas sino en la filosofía de la ciencia: René Descartes.
Lo que Descartes hizo fue combinar la concepción geométrica de las cosas junto con una interpretación algebraica de las mismas, creando una poderosa herramienta para abstraer el mundo que nos rodea y llevarlo así al contexto de los números: el plano cartesiano. Pero, ¿qué es?
La idea detrás de éste es increíblemente sencilla pero muy creativa. Si partimos del concepto intuitivo de línea recta, la interrogante natural resultante refiere a la forma en que podemos asociar números con los diferentes puntos que la línea puede contener. Es decir, si se tiene la línea denotada por la letra k, ¿cómo podemos crear un sistema numérico sobre ella?Asumiendo que queremos trabajar con los números naturales para comenzar (es decir, los números 0, 1, 2, 3, 4, etc.), podemos entonces abordar el problema de la siguiente manera. Puesto que una recta puede extender su longitud todo lo que deseemos, es natural pensar en una con longitud infinita. Supongamos que dicha recta es, en efecto, la línea k. Como no existe ninguna división en la línea y ésta es infinita, podemos elegir cualquier lugar de ella como punto de partida.Asociamos entonces a este punto inicial el número 0 y posteriormente establecemos un espacio de separación que servirá de medida para colocar los demás puntos que serán asociados con el resto de los números. De este modo podemos ubicar al 1, -1, 2, -2, etc., sin problemas.Al final del proceso tendremos una línea recta k, dividida en secciones que representan a cada uno de los números que conocemos de siempre. La idea de Descartes fue entonces llevar esto un paso más allá y extenderlo al considerar dos rectas con estas características, formando así su afamado plano.De esta forma podemos ubicar un punto con exactitud sin tener que depender de la interpretación o la intuición. Cada punto es representado por un par ordenado de coordenadas (x,y) y la operación principal sobre una recta pasará también al plano, es decir, la distancia entre cualesquiera dos puntos.Entonces, ¿cómo se relaciona esto con los videojuegos? La aplicación del concepto es tan directa que siempre la pasamos por alto. Veamos algunos ejemplos.
Como sabemos de toda la vida, el mapa tiene por función mostrarnos dónde se encuentran los diferentes puntos de interés; ya sea los niveles de un plataformas, los lugares especiales en un RPG o la simple ubicación de nuestro personaje en un juego de estrategia, el recurso del mapa cumple una función primordial al momento de la aventura y de su exactitud depende su éxito o fracaso.
Sin embargo, esta herramienta tan habitual en cualquier título es en realidad un plano cartesiano disfrazado con bonitas texturas y esconde una serie de puntos, junto con sus coordenadas, que mantienen la exactitud y coherencia del juego durante toda la partida. Sin esta ayuda detrás, nuestros intentos por encontrar una locación particular serían más largos, tediosos y confusos, pues no contaríamos con una referencia exacta de hacia dónde tenemos que ir ni por cuánto tiempo.Cada edificio en, por ejemplo, Fallout 3, se encuentra identificado (a nivel de código) por un punto cuyas coordenadas son únicas y éstas no cambian (a menos que la historia del juego lo permita) en ningún momento de la partida. Cuando comenzamos a jugar, sabemos dónde está Megaton y éste nunca se moverá (si no lo destruimos claro...).Ahora consideremos el juego de plataformas por excelencia: Super Mario Bros. Siendo un juego de avance lateral en 2D, que requiere saltar y esquivar enemigos en tiempo real, la necesidad por un plano que permita identificar en qué punto exacto comienza una plataforma y en cuál termina es innegable. De este modo, cuando vemos la plantilla utilizada para diseñar alguno de sus niveles estamos apreciando en realidad la aplicación de la geometría.
El camino por donde pasará Mario está bien determinado por las coordenadas de los puntos que sirven como suelo y para que el juego pueda saber dónde está cada enemigo requiere también una lista de las coordenadas donde cada uno de ellos puede avanzar, después de todo, no todos los enemigos pueden cruzar los abismos de los niveles ni tampoco todos pueden volar.
Al final del día, cada uno de los niveles puede ser visto como un gran plano cartesiano rectangular donde los sectores de plataformas y enemigos están asociados a conjuntos de puntos que describen dichas figuras así como sus movimientos.Pero, ¿qué pasa con los juegos en 3D? ¿Puede aplicarse también la geometría en, digamos, un juego de acción en tercera persona? Por supuesto que sí, vayamos ahora a las sangrientas e inestables tierras de Gears of War (aunque en realidad funciona para cualquier otro título del género).
Cuando entramos a una partida multijugador en Gears of War nos encontramos, primero que nada, con un mapa del lugar donde se desarrollan las acciones, así que de inicio la geometría se encuentra presente en la forma que tiene la arena de juego. Cada obstáculo y paso libre es identificado por un conjunto de puntos que son reconocidos por el juego y transformados en los objetos que vemos al jugar.
Los jugadores (vistos desde una perspectiva superior, es decir, con una cámara "aérea"), por otro lado, son etiquetados por un punto cuyo movimiento es siempre registrado por el juego dentro del plano cartesiano asociado al nivel. De este modo el juego sabe la distancia que existe entre los jugadores al momento de realizar un disparo y cómo éste afectará a quien lo recibe. Si no se cuenta con una referencia numérica para la posición de dos personajes que se enfrentan en un tiroteo, no se puede determinar quién tiene oportunidad de, por ejemplo, acabar a su rival con una escopeta o una granada (el rango de efectividad de las armas sería incierto).Finalmente, otro ejemplo clásico de geometría lo podemos hallar en el juego deportivo por excelencia (si, debo aceptarlo aunque no me agrade): FIFA. Para mantener la coherencia en cualquier partido se necesita restringir el movimiento de los jugadores a un área específica, que para los fines de este título es el campo de juego. Es decir, el plano cartesiano es el terreno de juego y sus ejes son dos de los lados del mismo. Además, puesto que la forma del campo es rectangular, es posible aprovechar los teoremas conocidos para tales figuras y usarlos al momento de programar el movimiento de cada jugador.
Ahora, es claro que en cada uno de los ejemplos anteriores, el plano cartesiano es indispensable y sin él la estructura misma del videojuego se vería comprometida. Sin embargo, también es necesario mencionar que este es solo uno de los conceptos que la geometría otorga al desarrollo de estas grandes aventuras digitales. Otras ideas igualmente importantes son la distancia, el concepto de lugar geométrico o la simulación de movimientos mediante ecuaciones de trayectorias. El tratamiento de los cuerpos (vistos como volúmenes) pertenece también a la geometría, en ese caso, geometría del espacio, y la manipulación coherente de las figuras que lleguen a ser necesarias dentro del juego, proviene de la geometría pura.
Puede decirse entonces que la geometría es una gran constante en los juegos que tanto amamos y su comprensión es vital para conseguir buenos resultados. En gran medida, el éxito o fracaso de un título particular se debe al buen o mal uso de los resultados establecidos por la geometría analítica, pues la sensación de juego se ve afectada directamente por ésta.Hasta aquí mi ligera explicación sobre esta noble rama de las matemáticas. Por supuesto, he obviado detalles oscuros (como los diferentes tipos de geometría que hay) y delicadezas propias de los métodos usados para la construcción del plano cartesiano, pero como comenté en el artículo anterior, siempre es mejor tener una idea sencilla con la cual iniciar la comprensión de un tema y no comenzar con una complejidad que solo dificulta nuestro entendimiento. En posteriores artículos hablaremos sobre distancia, geometría en el espacio y sabrosuras matemáticas listas para asombrarnos con su elegancia. Gracias y hasta la próxima.
(Esto se tendrá
en cuenta mayormente para saber la ubicación de diseños y demás cosas en especial en los espacios )
https://elpixelamplificado.wordpress.com/2017/06/13/las-matematicas-de-los-videojuegos-el-plano-cartesiano/
