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Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange

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moyack

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Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« en: Octubre 16, 2019, 10:38:42 pm »
Laboratorio #2: Polinomios de Lagrange

Fecha de entrega: 7 Noviembre 2019, a las 6:00PM Actualizado

Instrucciones:
El trabajo se debe entregar por este medio, como una respuesta a este tópico en formato PDF (NO se admite en Word).
Todo el procedimiento debe estar redactado en forma digital, no se aceptan dibujos a mano ni de las ecuaciones ni de las gráficas.
Debido a lo extenso del trabajo, no se aconseja trabajar en forma individual. Se recomiendan grupos de 3 y en algunas excepciones grupos de 4 (estos grupos deben hacer la actividad 4 en compensación)

Estructura del contenido:
El trabajo consta de tres partes:
  • Demostración de la robustez del modelo entre los datos de la tabla: interpolación (actividad común para todos los grupos)
    En esta parte que se realizó en clase, se va a estructurar una tabla de datos con una ecuación lineal de la forma \( f(x) = mx+b \). Ejemplo: \( f(x)=3x+1 \). Se va a realizar una tabla con 5 valores de prueba. Ejemplo:

    \(x\) \(f(x) = 3x+1\)
    0 1
    1 4
    2 7
    3 10
    13
    Teniendo ya la tabla de valores se construye el modelo de polinomios de Lagrange utilizando la siguiente estructura:
    \[ P_n(x) = \sum_{i=1}^n L_i(x)f(x_i) \]Donde \( n \) es la cantidad de datos de la tabla. Para \( L_i(x) \) se calcula de la siguiente manera:\[ L_i(x) = \prod_{j=1 \\
    i \neq j}^n = \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_j)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)(x_i-x_2)\cdots(x_i-x_j)} \]
    Con esto, en el caso del ejemplo tendriamos un polinomio de 5 términos (5 datos) y con ello se estructuraría este de la siguiente manera:\[ P_5(x) = T_0+T_1+T_2+T_3+T_4 \]Donde:
    \[ T_0=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)} 1 \]
    \[ T_1=\frac{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)} 4 \]
    \[ T_2=\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)} 7 \]
    \[ T_3=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)} 10 \]
    \[ T_4=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)} 13 \]
    Con esto, se expanden cada uno de los términos (eliminan paréntesis y fracciones) para llegar a una expresión más fácil de procesar. Se hará un ejemplo con \( T_0 \) y \( T_1 \):
    \[ \begin{align}
    T_0 & =\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)} 1 \\
     & Multiplicando\,binomios\,en\,la\,parte\,del\,numerador\ldots \\
     & \Rightarrow (x-1)(x-2) = x^2-3x+2 \\
     & \Rightarrow (x-3)(x-4) = x^2-7x+12 \\
     & Multiplicando\,ambos\,tenemos\ldots \\
     & \Rightarrow x^4-10x^3+35x^2-50x+24 \\
     & Operando\,los\,valores\,del\,denominador\,y\,multiplicanto\,por\,1\,(f(0))\ldots \\
    T_0 & = \frac {x^4-10x^3+35x^2-50x+24 } {24}\\
     & Distribuyendo\,el\,denominador\,en\,cada\,término\ldots \\
    T_0 & = \frac {1} {24}x^4 - \frac {5} {12}x^3 + \frac {35} {24}x^2 - \frac {25} {12}x + 1
    \end{align} \]
    \[ \begin{align}
    T_1 & =\frac{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)} 4 \\
     & Multiplicando\,binomios\,en\,la\,parte\,del\,numerador\ldots \\
     & \Rightarrow (x-0)(x-2) = x(x-2) = x^2-2x \\
     & \Rightarrow (x-3)(x-4) = x^2-7x+12 \\
     & Multiplicando\,ambos\,tenemos\ldots \\
     & \Rightarrow x^4-9x^3+26x^2-24x\\
     & Operando\,los\,valores\,del\,denominador\,y\,multiplicanto\,por\,4\,(f(1))\ldots \\
    T_1 & = \frac {4x^4-36x^3+104x^2-96x } {-6}\\
     & Distribuyendo\,el\,denominador\,en\,cada\,término\ldots \\
    T_1 & = -\frac {2} {3} x^4 + 6 x^3 - \frac {52} {3} x^2 + 16x
    \end{align} \]
    Sumando todas las simplificaciones desde \( T_0 \) hasta \( T_4 \) debería dar como resultado \( 3x+1 \) así:\[ \begin{matrix}
    \;\;(T_0) & \frac {1} {24}x^4 & - \frac {5} {12}x^3 & + \frac {35} {24}x^2 & - \frac {25} {12}x & + 1 \\
    +(T_1) &  -\frac {2} {3} x^4 & + 6 x^3 & - \frac {52} {3} x^2 & + 16x & + 0 \\
    +(T_2) & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    +(T_3) & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    +(T_4) & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    \hline
    & 0x^4 & + 0x^3 & +0x^2 & + 3x & +1
    \end{matrix} \] Los cálculos de \( T_2 \) a \( T_4 \) los deben realizar los estudiantes...
  • Aproximación funcional: revisión de la extrapolación en ecuación trigonométrica
    En este punto y los siguientes, se va a hacer una aproximación funcional. Para ello se va a utilizar una ecuación de la forma \( y(t) = A sen(\omega t) \) y se va a modelar como mínimo en una longitud de onda completa. Para ello, se va a modelar el polinomio con una tabla de 10 valores. Los valores de \( A \) y \( \omega \) serán suministrados por el docente a continuación

    A manera de ejemplo se explicará este punto con la ecuación \( y(t) = -2 sen(3 t) \). Se arma la tabla de valores en una hoja de cálculo (Excel o Libreoffice calc) con 10 datos desde 0 hasta un valor de \( t \) mayor o igual a \( \frac {360} {\omega} \), en este caso, 120 grados.
    Importante: Si se va a usar una hoja de cálculo, recuerde que las funciones trigonométricas manejan los ángulos en radianes. Por ello, debe hacerse una conversión a esa unidad para obtener los valores correctos. Formula ejemplo: =-2*SIN(RADIANS(3*G5)). Se recomienda ver la hoja de cálculo adjunta para mayor comprensión.
    Con una tabla como esta se estructuran los 11 términos del polinomio de Lagrange. Se recuerda que es conveniente hacer el informe con una configuración de hoja horizontal, para facilitar que quepan las expresiones algebraicas en el documento.

    Un ejemplo de uno de los términos para darse una idea de como se ve:\[ \begin{align}
    T_1 & =\frac{(x-0)(x-24)(x-36)(x-48)(x-60)(x-72)(x-84)(x-96)(x-108)(x-120)}{(12-0)(12-24)(12-36)(12-48)(12-60)(12-72)(12-84)(12-96)(12-108)(12-120)} \cdot -1.17557 \\
    & \text{Haciendo los procesos como en el punto 1 se llega a la expresión...} \\
    T_1 & = 0.0x^{10}-0.0x^9+0.0x^8-0.0x^7+0.0x^6-0.00001x^5+0.000415x^4-0.010787x^3+0.157475x^2-0.979642x
    \end{align} \]Como se puede ver, al haber un valor decimal, que es el valor de \( f(12) \), se sugiere hacer el manejo operacional de los números en formal decimal.
    Así con los demás 9 términos para obtener una ecuación polinómica de grado 10.

    Al final, se grafica en Geogebra la función inicial junto con el polinomio que se obtiene y se inserta esa imagen en el documento.



    Realizar un párrafo que describa la situación y den UNA conclusión sobre la aproximación a la ecuación trigonométrica y respecto a puntos fuera del rango de la tabla de datos.
    \(t\) \(y(t)=-2sen(3t)\)
    0 0
    12 -1.17557
    24 -1.90211
    36 -1.90211
    48 -1.17557
    60 -2.5E-16
    72 1.175571
    84 1.902113
    96 1.902113
    108 1.175571
    120 4.9E-16
  • En este punto, se va a realizar un proceso similar al indicado en el punto 2, pero en este caso se puede escoger una función NO lineal de las siguientes:
    \[ f(x)= \frac{1}{Ax^B+C} \]
    \[ f(x)= \sqrt[N]{Ax^B+C} \]
    \[ f(x)= \frac {1} {\sqrt[N]{Ax^B+C}} \]
    (esta opción es para los grupos de 4 estudiantes)

    (Para grupos de 5 estudiantes o más, deben hacer las tres ecuaciones anteriores)
« Última modificación: Noviembre 05, 2019, 09:01:24 pm por moyack »

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moyack

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Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #1 en: Octubre 20, 2019, 04:41:28 pm »
Nota: los estudiantes fueron organizados en los grupos indicados y numerados para facilitar el proceso de organización. El nombre del primer estudiante definió el valor aleatorio de los coeficientes \( A \) y \( \omega \), (usados en el ejercicio 2), \( A \), \( B \), \( C \) y \( N \) (usados para el ejercicio 3).

Si hubo algún error, por favor notificarlo para hacer los ajustes pertinentes.

1001 G CRC32 A \(\omega\) N B C
AGUDELO VARGAS INGRIT SHIRLEY 1 1765116231 17 6 5 11 62
GOMEZ PEREZ DANIEL HERNANDO 1            
HERRERA ROJAS MARIA CAMILA 1            
MARTIN SANCHEZ JAVIER ALEJANDRO 1            
AGUILAR MUÑOZ MELANY ALEXANDRA 2 1844025405 18 4 4 2 54
ARENAS VEGA INGRID NATALY 2            
Vega Vacca Santiago 2            
AGUILLON PINZON ROBERT OWEN 3 0394575270 3 9 4 57 52
BRAVO BLANCO SEBASTIAN 3            
GONZALEZ CASTRO DEIBY GIOVANNY 3            
GUERRA HUESO JUAN DAVID 3            
AMAYA CASTILLO LUIS GIOVANNY 4 0173769031 1 7 3 76 90
VILLALOBOS RICO DAVID ALEXANDER 4            
CALEÑO FARFAN HEIDY MICHEL 5 0453050324 4 5 3 5 3
GACHARNA CARRILLO SERGIO DAVID 5            
GARCIA REYES CAROL VIVIANA 5            
VASQUEZ ARISTIZABAL DANIELA ALEJANDRA 5            
CAMACHO RUIZ YESSICA VALENTINA 6 1571524354 15 7 1 52 43
GIRON ARIZA XIOMARA VALENTINA 6            
MARTINEZ ORTIZ JULIANA 6            
CASTRO GIL SHARITK NICOL 7 2237725635 22 3 7 72 56
MENDOZA GUERRERO NAYERLIN 7            
DELGADO GUERRERO DAVID SANTIAGO 8 1216107365 12 1 6 10 73
GUTIERREZ MILEIDY ALEJANDRA 8            
GUZMAN SANABRIA LAURA DANIELA 9 2766502053 27 6 6 50 20
VALENZUELA CRUZ DANIEL 9            
MARTINEZ MARTINEZ ANDRES FELIPE 10 1063493125 10 6 3 49 31
MARTINEZ MARTINEZ JHON SEBASTIAN 11 4275296061 42 7 5 29 60
SOTO LEON CRISTIAN SAMUEL 11            
VALDELAMAR DIAZ IBRAHIN JOSE 11            
1002 G CRC32 A \(\omega\) N B C
BOCANEGRA ARIAS KEVIN DANIEL 1 1541100958 15 4 1 10 9
GUTIERREZ CUBILLOS ERIK DAVID 1            
HERNANDEZ DIAZ SANTIAGO 1            
QUINTANA PEDRAZA LUIS MIGUEL 1            
RODRIGUEZ ROHENES JOSE DAVID 1            
CADENA MEDINA CRISTIAN ARVEY 2 0362460853 3 6 2 46 8
PARADA MARTINEZ ANDREY FELIPE 2            
VIRGUEZ VERGARA MILTON ANDRES 2            
CAICEDO RAMIREZ INGRID VALERIA 3 1769248756 17 6 9 24 87
FLOREZ VALENCIA JHON LENNY 3            
CASTIBLANCO LOZANO ANTONIO JOSE 4 0388709344 3 8 8 70 93
MANJARRES CAÑA JONATAN DAVID 4            
RODRIGUEZ RINCON HELLEN NICOL 4            
FIGUEROA YANCES DANIEL FELIPE 5 1353255551 13 5 3 25 55
URREA IBAGUE KAROL XIMENA 5            
VANEGAS VENTURA ANDREA PAOLA 5            
FIGUEROA YANCES MELISSA ANDREA 6 2483640101 24 8 3 64 1
RODRIGUEZ OLAVE MAYERLI 6            
VERGARA GIL SHIRLEY MICHELLE 6            
FLOREZ SEGOVIA ANGEL NAREN 7 3911261516 39 1 1 26 15
MARTINEZ LOPEZ YESID ISAAC 7            
GONZALEZ JIMENEZ JOAN SEBASTIAN 8 1494102024 14 9 4 10 20
MEDINA PEÑA JHOHANN DEYWI 8            
GONZALEZ MENDOZA KAROL TATIANA 9 2338799352 23 3 8 79 93
MONTAÑA CAMACHO LAURA DANIELA 9            
GRANADOS TEHERAN PAULA ANDREA 10 0742759709 7 4 2 75 97
PEREZ RODRIGUEZ DARSY SHIRLEY 10            
VEGA TORRES LINA VIVIAN 10            
GUTIERREZ MELO OSCAR JOEL 11 4292465580 42 9 2 46 55
MARIN ARTEAGA DANA VALENTINA 11            
RODRIGUEZ JIMENEZ LEIDY LORENA 11            
SUA CUBIDES SANTIAGO 11            
MORENO PAJOY ANDERSON ANIBAL 12 1473690396 14 7 3 69 3
« Última modificación: Octubre 27, 2019, 02:11:08 pm por moyack »

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vasquez alejandra

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  • Curso: 1001
Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #2 en: Noviembre 05, 2019, 05:56:36 pm »
Sergio Gacharná
Heidy Caleño
Karol García
Daniela Vasquez
10-01
 Buenas Tardes
Profesor
Con la presente, queremos enviarle el primer punto del trabajo asignado por usted
Gracias por su atención
« Última modificación: Noviembre 05, 2019, 05:59:48 pm por vasquez alejandra »

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moyack

  • Admin y encargado del proyecto "Learning by Gaming"
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Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #3 en: Noviembre 05, 2019, 09:02:23 pm »
Actualizada la fecha de entrega del trabajo. Al menos espero ver desarrollado el primer punto.
Sergio Gacharná
Heidy Caleño
Karol García
Daniela Vasquez
10-01
 Buenas Tardes
Profesor
Con la presente, queremos enviarle el primer punto del trabajo asignado por usted
Gracias por su atención
Gracias. ya voy a revisar el trabajo.

Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #4 en: Noviembre 06, 2019, 11:56:54 pm »
hola,buenas noches profesor augusto somos el grupo #6 del curso 1002 -trabajo de los polinomios de lagrange

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kedaboar

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  • Curso: 1002
Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange Ti
« Respuesta #5 en: Noviembre 07, 2019, 12:22:49 pm »
Ti

Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #6 en: Noviembre 07, 2019, 04:06:48 pm »
Este trabajo fue el trabajo de los 2 grupos de 2 que se habían unido, Gracias.
Curso 10-02

*

chikis2003

  • *
  • 7
  • ingrid valeria caicedo ramirez
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  • Curso: 1002
Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #7 en: Noviembre 07, 2019, 05:18:21 pm »
hola profe :) este es mi trabajo de este periodo no se si me haya quedado bien  ;D pero es de caicedo ingrid y jhon florez gracias profe

Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #8 en: Noviembre 07, 2019, 05:45:57 pm »
HOLA PROFE
ESTE ES EL TRABAJO DE: VANEGAS, URREA Y FIGUEROA DANIEL

*

Guzman Laura

  • *
  • 2
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  • Curso: 10
Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #9 en: Noviembre 07, 2019, 05:59:18 pm »
ACTIVIDAD LAGRANGE GUZMAN Y VALENZUELA

Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #10 en: Noviembre 07, 2019, 06:18:11 pm »
ACTIVIDAD LAGRANGE 10-01

Grupo Numero 3

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kurama

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  • 410
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  • Curso: 1001
Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #11 en: Noviembre 07, 2019, 06:19:16 pm »
actividad de lagrange valdelamar, soto, martinez perdone la demora profe es que me cogió el tiempo para subir el archivo
« Última modificación: Noviembre 07, 2019, 06:20:55 pm por kurama »

*

gigabite

  • *
  • 6
  • hola...
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  • Curso: 1002
Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #12 en: Noviembre 07, 2019, 06:26:09 pm »
listo profe el trabajo
integrantes Hellen rincon antonio jose y manjarrez

Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #13 en: Noviembre 07, 2019, 06:28:06 pm »
 ;) ;) ;) :) :) :P

Re:Laboratorio 2 Especialidad: polinomios de Lagrange
« Respuesta #14 en: Noviembre 07, 2019, 06:38:10 pm »
SANTIAGO VEGA ,NATALY ARENAS ,MELANNY AGUILAR ,10-01