Geometria Esferica

[Quintero Camilo]

CATEGORÍA DE HOY: Teoría (postulados de Euclides)
                                      Origen (padre y descendencia de la geometría esférica)

Teoría (postulados de Euclides)

Desde hoy se empezara desde 0 con conceptos básicos para entender el funcionamiento de la geometría esférica y un así su origen pero antes como este campo se relaciona con la geometría NO EUCLIDIANA se tiene que especificar que aspectos desafía y por que lo así, se tiene en cuenta que los siguientes 5 postulados de Euclides servirán de apoyo para los siguientes post y como citas textuales en un futuro.

La geometría de Riemann es fundamental para la comprensión de la geometría esférica ya que según el archivo INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ESFÉRICA DE RIEMANN HACIENDO USO DE CABRÍ GEOMETRE Y UNA REPRESENTACIÓN ANALÍTICA escrito por WILSON ENRIQUE JIMÉNEZ ACHURY (2006). ''Riemann menciona en su trabajo "las hipótesis sobre las que se funda la geometría" que para analizar con detalle las relaciones internas entre los principios básicos de la geometría hay que desarrollar un concepto general que abarque la idea de espacio. En otros términos, si queremos comprender mejor las suposiciones que esconde la idea habitual de espacio euclídeo, hace falta contemplarla desde un punto de vista más abstracto. 
'' (p.14).

Riemann  afirma en que la comprensión del  espacio se basa en un tema abstracto el cual la proyecta en una superficie esférica de curvatura constante y es una variedad.

Asi mismo el cuestiono el quinto postulado de Euclides, estos postulados antes de mirar la critica surgieron de la siguiente manera:

El periodo más fecundo de la geometría en Grecia es el siglo III A.C. con Euclides, Apolonio y Arquímedes, siendo el libro Los Elementos de Euclides el primer tratado formal y sistemático de la geometría elemental que fue completado posteriormente por Arquímedes quién extendió los problemas de la geometría plana a la geometría de los sólidos o geometría tridimensional.

Recordemos los postulados de Euclides:

(I) Dos puntos distintos determinan una única línea recta.
(II) Una segmento de línea recta puede extenderse sin limitaciones.
(III) Dado un punto y una distancia, es posible trazar una circunferencia que tenga a ese punto como centro, y a esa distancia como radio.
(IV) Todos los ángulos rectos son iguales.
''(V) Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, ángulos interiores que suman menos de dos ángulos rectos, al prolongar indefinidamente las dos rectas, éstas se cortan del lado en que los ángulos interiores suman menos de dos ángulos rectos.''(Esta versión del quinto postulado de Euclides se le atribuye a John Playfair (1748-1819), aunque Proclo (410-485 D.C) lo enunció en el siglo V de nuestra era. )

Este postulado, que en su versión más conocida, se denomina el postulado de Playfair: "Dado un punto exterior a una recta, es posible trazar una, y sólo una recta paralela a la recta dada.

Euclides definió como paralelas a dos líneas rectas que no se cortan, y en virtud del quinto postulado, la suma de los ángulos interiores que dichas rectas forman con una línea transversal debe ser, tanto de un lado como del otro, igual a dos ángulos rectos.

"  Estará de acuerdo en que el Postulado V tiene una forma bastante más complicada que los cuatro primeros. Hay que aclarar, a favor de Euclides, que si bien existen formas más sencillas de este postulado, la redacción que él propone corresponde a la versión que permite utilizar el postulado para derivar, utilizando la lógica y resultados ya demostrados, nuevos resultados, lo cual era su propósito."[R.S., pg. 12]

Toda la información anterior se especifico en uno de los libros de Euclides llamado Los Elementos de Euclides.

CONCLUSIÓN: Se da la primera parte de la INTRODUCCIÓN A LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

Origen (padre y descendencia de la geometría esférica)

Previamente Claudio Tolomeo (100d.C) se puede considerar un padre precursor de la geometría esférica infiriendo ya que: Desarrollo en Egipto toda la tecnología que necesitaba para realizar sus cálculos astronómicos también aplico sus teorías a la construcción de relojes de sol y astro labios  y escribió el tratado de Almagesto la primera sistematizacion de la geometría esférica luego de que los babilónicos la dejaran a medio cerrar y el al recopilar tratados de cuerdas y esferas de Hiparco de Nicea.

CONCLUSIÓN: Todo lo hablado da paso a ¿Por que se creo la geometría esférica? y ¿Porque los babilónicos dejaron a medio terminar la idea y mucho tiempo después un Egipcio las encontró?

TEMA SECUNDARIO A RESALTAR EN PROXIMOS POST:
Traducción casi exacta del tratado de Almagesto.

(Todas las preguntas o temas secundarios planteados en un post serán repuestos en los siguientes a modo de cita textual)

[Quintero Camilo]

TEMA: Traducción de la introducción de el pdf en ingles.

Tan solo la introducción sera puesta como un mensaje propio el resto de traducción pagina a pagina se especificara en la parte de tema cuando se trate de ello donde luego lo explicare lo que se entendió y como lo relaciono tal vez con el tema que este trabajando en el momento.

INGLES:

Introduction
The aim of this course is to show different aspects of spherical geometry for itself, in relation to applications and in relation to other geometries and other parts of mathematics. The chapters will be (mostly) independant from each other. To begin, we'l work on the sphere as Euclid did in the plane looking at triangles. Many things look alike, but there are some striking differences. The second viewpoint will be the introduction of coordinates and the application to basic astronomy. The theorem of Pythagoras has a very nice and simple shape in spherical geometry. To contemplate spherical trigonometry will give us respect for our ancestors and navigators, but we shall skip the computations! and let the GPS do them. The stereographic projection is a marvellous tool to understand the pencils of coaxial circles and many aspects of the relation between the spherical geometry, the euclidean affine plane, the complex projective line, the real projective plane, the Möbius strip and even the hyperbolic plane. cf.  http ://math.rice.edu/ pcmi/sphere

ESPAÑOL:

Introducción
El objetivo de este curso es mostrar diferentes aspectos de la geometría esférica por sí mismo, en relación con las aplicaciones y en relación con otras geometrías y otras partes de las matemáticas. Los capítulos serán (en su mayoría) independientes entre sí. Para comenzar, trabajaremos en la esfera como lo hizo Euclides en el plano mirando triángulos. Muchas cosas se parecen, pero hay algunas diferencias notables. El segundo punto de vista será la introducción de coordenadas y la aplicación a la astronomía básica. El teorema de Pitágoras tiene una forma muy agradable y simple en geometría esférica. Contemplar la trigonometría esférica nos dará respeto por nuestros antepasados ​​y navegadores, ¡pero omitiremos los cálculos! y deja que el GPS los haga. La proyección estereográfica es una herramienta maravillosa para comprender los lápices de círculos coaxiales y muchos aspectos de la relación entre la geometría esférica, el plano afín euclidiano, la línea proyectiva compleja, el plano proyectivo real, la tira de Möbius e incluso el plano hiperbólico. cf. http: //math.rice.edu/ pcmi / sphere


Usted puede buscar los links o mirar el archivo en ingles para el proximo post especificare la conclusión de la introducción.

[Quintero Camilo]

POST NUMERO 8 ORIGEN COMO EL TEMA QUE ME CORRESPONDE
TEMA:Solucion a preguntas de artículos anteriores.
                   
SOLUCIÓN A PREGUNTAS:

a) ¿Porque se creo la geometría esférica?

Primero, analicemos algunos puntos:

Fuentes e enciclopedias como Wikipedia y textos QUE AFIRMAN el pensamiento aristotélico en la parte esférica y el estudio de ella se afirma que: José Antonio García González (2011) describe en su trabajo de estudios de arte geográfica e historia.''ARISTÓTELES (384 a. C. - 322 a. C.) demostró la esfericidad terrestre por medio de seis argumentos ERATÓSTENES, (270 aC - 195 aC) calculó la medida de circunferencia terrestre, se puede decir que era casi precisa de alrededor del 14% y construyó un mapa del mundo habitado con siete paralelos y siete meridianos.''

PREGUNTA QUE SURGE PARA RESPONDER EN OTROS POSTS: ¿ cuales son los seis argumentos Eratostenes?
                                                                                                                         ¿Como calculo aristóteles la medida de la tierra y que formulas surgieron de ello?

Mucho más tarde, el portugués Fernão de MAGALHÃES (1480 - 1521) emprendió el primer viaje de circunnavegación del partiendo de Sevilla en 1519, sin pasar por el Estrecho de Magallanes (Patagonia) hasta llegar a Filipinas (en Asia) por el Océano Pacífico, demostrando el formato
Tierra redondeada.

Así mismo el hombre que quedo enfrente a la expedición luego de que Magallanes muriera ''Juan Sebastian Elcano'' fue otro interprete el cual dio toda la vuelta al mundo para luego llegar a su destino y comprobó así la redondez de la tierra mas aun en el siglo XV se veía el auge de el pensamiento humanista e italico ya que pensar esto en la edad media seria un acto blasfemico y no se le consideraría verídico Gracias a la Providencia, el sábado 6 de septiembre de 1522 entramos en la bahía de San Lúcar... Desde que habíamos partido de la bahía de San Lúcar hasta que regresamos a ella recorrimos, según nuestra cuenta, más de catorce mil cuatrocientas sesenta leguas, y dimos la vuelta al mundo entero, ... El lunes 8 de septiembre largamos el ancla cerca del muelle de Sevilla, y descargamos toda nuestra artillería.
Antonio Pigafetta. (Relación del primer viaje alrededor del mundo; Primer viaje alrededor del globo. Antonio Pigafetta. (con un estudio preliminar del Prof. Nelson Martínez Díaz). Título original: Primo viaggio in torno al Globo Terracqueo (edic. de 1800). Ediciones Orbis, Barcelona, 1986).

Hoy en día, sabemos que las naves espaciales viajan, en sus viajes, trayectorias que no son rectas y, aun así, que somos seres de tres dimensiones, en moviéndose en un mundo tridimensional, en el que, sin embargo, según los físicos, hay un cuarta dimensión, tiempo.
En la primera mitad del siglo XIX, el matemático RIEMANN (1826-1866) en En su famosa conferencia, admitió un espacio con un número arbitrario de dimensiones. ( En el PDF adjunto y que se ha visto en muchos posts anteriores se especifica ello)
Pero antes de él, GAUSS, el "Príncipe de los matemáticos", ya sabía que los geógrafos ubicada una ciudad, en el globo terrestre, por medio de su latitud y longitud, considerando meridianos y paralelos.( En el PDF adjunto y que se ha visto en muchos posts anteriores se especifica ello)

Con la evolución de la ciencia, hoy sabemos que la forma de la Tierra no es esfera perfecta, con NEWTON (1642-1727) proponiendo que sea de un elipsoide aplanado en los polos. En mapas a pequeña escala, sin embargo, aparece como una forma de una esfera y los cálculos resultantes mostrarán errores insignificantes.
En vista de todos estos puntos, creemos que no podemos seguir limitando Pensó en el hombre moderno, cuando ante él hay hechos que la Geometría Euclidiana no explica, pero esa geometría esférica puede responder.

CONCLUSIÓN: Luego de que un primer sabio registrado ''Aristoteles'' estudiara la esfera como una contraposición al planicentrismo se establecieron medidas casi primitivas como los grados con los que fueron formados los meridianos y paralelos que en la actualidad se preservan con un sitema de 360° redondos que es una base de mas para la investigación y plasmarlos en un plano el cual retomaría lego Riemann par basar sus aspectos de porque la geometría esférica no es EUCLIDIANA (me propondré entender esto ya que no lo he entendido con claridad pero el concepto se tiene claro) y aun asi el pensamiento de Aristoteles se confirmo al empecer los viajes de barcos y ver como los planicentristas no llegaban a su destino deseado. Asi que esta geometria esferica se creo para la representación de importantes aplicaciones prácticas en la navegación y la astronomía. Una geometría importante relacionada con la modelada por la esfera es llamada plano proyectivo real, y es obtenida identificando las antípodas en la esfera (pares de puntos opuestos). Localmente, el plano proyectivo tiene todas las propiedades de la geometría esférica, pero tiene diferentes características globales. En particular, es no orientable.

[Quintero Camilo]

TEMA: Traducción del tratado de Almagesto y explicación. CABE ACLARAR QUE TRADUCCIONES NO SE ENCONTRARON COMO TAL SOLO FRAGMENTOS ASI QUE SE ESPECIFICARA TAN SOLO EN QUE SE BASA YA QUE LAS TRADUCCIONES ENCONTRADAS EN GOOGLE ESCOLAR ERAN CARAS Y OTRAS TODAVÍA SE ENCONTRABAN EN LATÍN O LOMBARDO COMO PDF

Primero que todo yo especificare aspectos básicos que trataba el tratado de almagesto:

I: Generalidades sobre el Universo. Trigonometría plana y esférica.
II: Astronomía esférica.
III: Teoría del Sol.
IV y V: Teorías de la Luna.
VI: Eclipses.
VII y VIII: Estrellas fijas. Catálogo estelar.
IX – XI: Teoría de los planetas. Cálculo de la longitud.
XII: Planetas: retrogradaciones; puntos estacionarios.
XIII: Planetas: cálculo de la latitud eclíptica.

Como se puede ver para la investigación de entendimiento de la geometría esférica nos es útil los dos primeros numerales griegos.

También se pueden evidenciar distintas traducciones tales como:

Al árabe: Ishq ibn Hunain y Thbit ibn Qurra (c. 870)
  (c. 1175)
Al francés: Halma, Delambre (1813-16)
Edición crítica y de referencia del texto griego: Heiberg (1898-1903)
Al alemán: Manitius (1912-13)
Al inglés: G.J. Toomer (1984)

Ptolomeo basó su trabajo en el catálogo estelar realizado anteriormente por Hiparco de Nicea. . En el Almagesto, Ptolomeo presentó la descripción de las 48 constelaciones clásicas y creó un refinado sistema para explicar los movimientos aparentes de los planetas en un sistema geocéntrico en el que el Sol, la Luna y los planetas giraban alrededor de la Tierra en círculos epicíclicos.
El tema central de Almagesto es la explicación del sistema Ptolomaico. Según dicho sistema, la Tierra se encuentra situada en centro de universo y el sol, la luna y los planetas giran en torno a ella arrastrados por una gran esfera llamada "primum mobile", mientras que la tierra es esférica y estacionaria. Las estrellas están situadas en posiciones fijas sobre la superficie de dicha esfera. También afirma que el sol, la luna y los planetas están dotados de movimientos propios adicionales que se suman al primum mobile.

A pesar que esta teoría fue insostenible porque parte de supuestos falsos, es coherente con sigo misma desde el punto de vista matemático, y su obra tuvo gran influencia en la edad media, comparándose con la de Aristóteles en filosofía.

El tratado consta de 13 volúmenes,algunos de ellos son: el sistema geocéntrico, la periodicidad de los equinoccios y la longitud del año, estudios de la luna , entre otros. Aunque estas teorías estuvieron contenidas en su tratado fueron incorrectas, pero igualmente estuvieron vigentes durante catorce siglos, influyendo en el pensamiento astronómico y científico hasta la llegada del sistema heliocéntrico y la revolución científica en el siglo XVI. A pesar de todos los errores astronómicos que Ptolomeo cometió en sus trabajos, fue uno de los astrónomos que cambio la visión del universo e intentó explicar científicamente la mecánica de los astros.(Elvira Mateu Pérez y Abilio Orts Muñoz;LA ASTRONOMÍA GRIEGA: DE LOS PITAGÓRICOS
AL ALMAGESTO DE PTOLOMEO)

Lo entendido de los archivos leídos:

Ptolomeo se baso en el trabajo de Hiparco de Nicea el cual jamas se encontró mas aun presenta sus propias formulas desde las paginas 10 a la 12 que se relaciona demasiado con los puntos,lineas y rectas que se habla en la geometría esférica y cálculos astronómicos también los volúmenes constaban de:

El Almagesto consta de trece volúmenes:

1. El primer libro expone el sistema geocéntrico.
2. El segundo libro la periodicidad de los equinoccios y la longitud del año.
3. El tercer libro discute los solsticios y equinoccios.
4. En el cuarto libro se exponen estudios de la Luna y se define el mes sinódico.
5. El quinto libro trata sobre la corrección de paralaje de las posiciones del Sol y la Luna.
6. En el sexto libro se expone una medida del diámetro aparente del Sol y la Luna, mostrando un método de predicción de eclipses.
7-8. En los libros séptimo y octavo se muestran cómo las posiciones relativas entre las estrellas son fijas. El octavo libro constituye un catálogo de las estrellas australes conocidas por él.
9-13. Finalmente, en los últimos cinco libros se expone el método de Ptolomeo para calcular las posiciones y trayectorias de los planetas, explicando en detalle el sistema de epiciclos.

[Quintero Camilo]

TEMA: Pedazos importantes de texto para explicar ahora si los componentes de la esfera y explicar la introducción del texto en ingles:


NOTA: No se harán CITACIONES ya que lei y saque mis conclusiones acerca de el PDF JIMENEZ

Lobachevski y Bolyai fueron los primeros en basarse en geometrías no euclidianas  donde surgen resultados no verídicos al tema:

- Los ángulos de un triangulo forman menos de la suma de dos rectos( NO SE SI COMPRUEBA YA QUE RIEMANN EN SU TRABAJO '' LA HIPÓTESIS SOBRE LAS QUE SE FUNDA LA GEOMETRÍA'' analiza las relaciones entre triángulos y como se ven en la esfera dando una triangulacion completa de la esfera donde cada triangulo es estable a 180° excepto en excepciones que todavía no entiendo
-No hay triángulos semejantes de area distinta(SI ES VERÍDICO)
- La medida absoluta de longitud es la altura máxima de un triangulo isósceles. (NO CONVIENE PARA EL PROYECTO ya que no aporta a los esquemas que trabaja la recta y punto.

Riemann interpreta a la efera como: Es una superficie en curvatura constante y la llega a hacer cuadros comparativos de que tenia de la geometria euclideana y que no era de ella.

Mas adelante se darán mas interpretaciones de mi autoria y no son OPINIONES son datos que he leido y he confirmado de mis archivos descargados.

[Quintero Camilo]

Hola: Mis respuestas se basan en la idea de que ustedes van a medir en una superficie esférica una forma geométrica.

para poder meternos en la geometría  esférica debemos manejar muy bien la geometría euclidiana o plana, la que nos han enseñado en el colegio. la geometría plana cuenta con 5 axiomas, son como los pilares los cuales son :

1. es posible trazar una recta desde un punto hasta otro cualquiera
2.un segmento de recta puede prolongarse indefinidamente
3.se puede trazar una circunferencia con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radio
4.todos los ángulos rectos son iguales
5.si una recta corta a otros dos formando ángulos internos por el mismo lado en que suman menos de dos ángulos rectos,estas dos rectas,prolongadas indefinidamente se cortaran por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos

Ok, estos axiomas son claves pero no son los únicos, o para ir al grano, necesito que se enfoquen en ver que conocimiento de la geometría deben darle más hincapié para que el proyecto tome dirección.

este 5 es el que ocasiono problemas, intentando demostrar de que este era un teorema no un axioma, muy largo y enredado para ser un axioma.llego a las manos de un matemático jesuita y partió de el 5 axioma y estableció 3 posibles casos  que los ángulos fueran agudos obtusos o rectos y quiso demostrar el 5 axioma, desde este punto,si niego lo que quiero demostrar y llego a una contradicción estoy demostrando lo que había negado,

Esta parte demostrativa es interesante para confirmar generalidades o refutar una ilusión visual. Como idea es interesante pero como parte de su trabajo todavía no veo que pueda generar un aporte... a no ser que vayan a generar una comparación entre la geometría euclidiana y la esférica.

Como su proyecto esta tendiendo a la línea de aplicación a través de la metodología de diario de campo, necesito que por favor empiecen a buscar información estructurada acerca de los axiomas de la geometría, específicamente adelantándose a los triángulos y las fórmulas para determinar sus ángulos y lados. (Conocido también como trigonometría.)

Mensaje 12 del proyecto
TEMA:(TEORIA)= Información estructurada acerca de los axiomas de la geometría.

En la antigüedad, y en las zonas de China, del sur de Asia y Oriente medio, se vio una necesidad d apoyo para la arquitectura,  la Astronomía, etc., las cuales  nada mas ni nada menos obligaban a medir  y controlar distancias entre puntos, abertura de ángulos, superficies y volúmenes mediante la elaboración de principios o formas básicas de cálculo. (EL CALCULO DE ESFERAS Y APLICACIÓN A SU GEOMETRÍA NO SERA MUY PRESENTE YA QUE A MI MISMO ME PARECE MUY EXTENSO Y DIFÍCIL DE ENTENDER CON TIEMPO MIRARE MAS ARTÍCULOS PARA EMPAPARME DEL TEMA)
La elaboración de estos principios básicos se hacía, en definitiva, de forma empírica ( En un post anterior se decía que Aristoteles se desempeñó en el estudio de ángulos desde Alejandrina donde por medio de la rotación terrestre se dio cuenta de que la tierra era redonda aun así definió los 7 paralelos y meridianos y una aproximación de un 14% al actual sistema sexagesimal y los obvios 360°.Entonces se puede considerar que es uno de los aprendizajes que le dan vida aun axioma de lógica y estudio astronómico donde pera mi la astronomía me llama mucho la atención y los planetas edemas el la batalla acerca de quien iria primero al espacio Rusia o Estados Unidos, le considero mucho respeto a Katherine Johnson y todo el proceso que hizo para entender los documentos que le ocultaban por tan solo ser de tez negra,planteo as u vez en concenso de la efericidad y rotaciones variadas een la tierra asi como trayesctorias elipticas : se trasladó al área de Controles de Naves Espaciales (Spacecraft Controls Branch). Coleman Goble Johnson calculó la trayectoria del vuelo espacial de Alan Shepard,12​13​ el primer estadounidense en viajar al espacio, en 1961. También calculó la ventana de lanzamiento del Proyecto Mercury de 1961.14​ En 1962, cuando la NASA comenzó a utilizar computadoras electrónicas para calcular la órbita de John Glenn alrededor de la Tierra, fue convocada para verificar los resultados de la computadora. Glenn dijo que no volaría si ella no verificaba los cálculos.15​16​ Biography.com afirmó que eran cálculos mucho más complejos ya que tenían que tener en cuenta la fuerza gravitacional de muchos cuerpos celestes)(https://es.wikipedia.org/wiki/Katherine_Johnson) ahora siguiendo con lo empírico , esto es, de acuerdo con las necesidades experimentales que se iban presentando a lo largo de los procesos de actividad en la agricultura, la industria y el estudio de la naturaleza. Los textos más antiguos de los que hoy se disponen hablan de la medida de un ángulo en un terreno, de la superficie de una zona concreta, etcétera, estableciendo normas o pautas para realizar el cálculo, pero, realmente, no aparece un intento de formulación abstracta que permita establecer reglas para todo tipo de superficies, distancias o ángulos.
Fue con el transcurrir del tiempo cuando se llegó a comprender la necesidad de establecer pautas, reglas o fórmulas abstractas generales que permitieran luego hacer el cálculo de los elementos arquitectónicos, de agrimensura, astronómicos, etc., de manera concreta, aplicando tales fórmulas generales. Empezó esto cuando se comenzó atisbar que las reglas para medir el ángulo que formaban dos caminos habrían de ser las mismas que permitieran medir un ángulo entre dos paredes verticales, por ejemplo, o que la superficie de un terreno y la superficie de una alfombra se habría de calcular siguiendo igual fórmula o regla.
Aquí llegamos a un primer axioma que ya he dicho muchas veces y he explicado en dos posts anteriores acerca de la posición de Euclides o mejor dicho sus postulados donde de nuevo en este articulo se dice que el quinto No lo he terminado de analizar es uno de los mas estudiados y analizados ya a la gran variedad de interpretaciones que presentan y lo que ya sabemos da luz a las geometrías no euclideanas.

También podemos apreciar como mas axiomas:

La geometría de Lobachevski

Lobachevski (1792-1856) realizó diversos intentos de prueba del enunciado de las paralelas, hasta que quiso probarlo mediante el método de oposición, esto es,demostrando la falsedad del contrario. Se basaba en suponer lo siguiente:

Haber,haber,haber... entonces el si desafió a Eclides,bueno en si vivió mucho después de el pero pues estudio el v postulado y en uno de los artículos para la tabla de contenido fue esto:

Axioma 1: "Por dos puntos pasa una única línea recta".
Axioma 2: "Una recta cualquiera puede prolongarse indefinidamente".
Axioma 3: "Para un punto y un segmento hay una única circunferencia".
Axioma 4: "Todos los ángulos rectos son iguales".
Axioma 5: "Por un punto exterior a una línea recta dada r pueden trazarse dos
rectas paralelas a r". (Carlos S. Chinea Sobre axiomas y geometría)

Gran cita textual:SMOGORZHEVSKI, A.S., Acerca de la geometría de Lobachevski, Ed. Mir, Moscu, 1984. CHINEA, C.S.

Conclusión: Me he dado cuenta de que ya hable de un axioma el cual TENGO que especificarlo y hacer una practica con fotos que enviare en mensajes próximos explicando cada uno, ahora los postulado de Lobachevski es casi igual a los de Euclides solo que explica meas sencillo el V unque me causa la duda de que porque solo se pueden trazar dos paralelas.

EN EL SIGUIENTE POST TERMINARE MI IDEA DE LA TRADUCCIÓN DEL TEXTO EN INGLES

[Hernandez Diego]

Tema: bases de la geometría esférica y literalmente en que consiste

Estamos hablando de la geometría esférica y es curioso que no sepamos cuales son sus bases y en qué consiste en este mensaje no se extenderá mucho ya que si empezamos hablar en que consiste directamente abrían muchas ramas

La geometría esférica es algo complicado ya que si nos damos cuenta sus bases son de la geometría euclidiana vaya nace de ella, pero logra "evolucionar" y da un aspecto totalmente diferente a la euclidiana

Unas bases de esta podría ser En una esfera, definimos como rectas a los círculos máximos que se pueden trazar en ella (es decir, los círculos que tienen radio igual al de la esfera en la que los dibujamos). Un triángulo, como el que tenemos aquí abajo, está delimitado por tres segmentos de círculos máximos.
Esto me parece muy curioso que en una esfera se defina como rectas los máximos círculos que se pueden trazar en ella, según basado en el autor puedo analizar que los triangulos que se pueden dibujar sobre una esferas son los que delimitan los segmentos de los círculos máximos esto puede significar que los triangulos podrían llegar a ser una de las bases de la geometría esférica ya que delimita ciertos aspectos
La geometría esférica es un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide
Esto es o podría ser uno de los datos más importantes de la geometría esférica ya que todos pensaríamos que la base de la geometría esférica es la superficie de la esfera pero es la superficie de un elipsoide, entonces para como empezar a hablar de esto necesitamos saber que es un elipsoide

Un elipsoide esEs una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. esto porque siempre hay "superficies" que no son perfectamente una esfera si no que tiene variaciones como la tierra no es una esfera perfecta si no un elipsoide

Dato Curioso
Los ángulos de un triángulo suman entre 180º y 540º si éste se encuentra sobre una esfera

Un autor diceLa geometría esférica es una belleza, pero decir que dos rectas paralelas sobre una esfera o donde sea se cortan fue y es un disparate por definición de la definición. Físicamente dos cuerpos se pueden mover de forma paralela sobre una esfera y regresar al punto de partida manteniendo la misma distancia; eso sería de verdad algo paralelo. Podríamos hablar tiempo sobre la geometría no euclidiana y terminaríamos en la metafisica matemática esoterica. Así que lo dejó en esa reflexión para que la gente entienda donde están los timos aquí, donde lo único paralelo, es hacer un paralelismo entre la vieja geometría y las nuevas.

Eso me parece curioso que dos rectas paralelas se colocan sobre una esfera no se van a cortar y es increíble que atravez de unas linias llegamos a un tema de tal magnitud como la matemática esoterica

Este texto fue basado en los siguientes links

http://radiorho.blogspot.com/2016/10/geometria-esferica-i-la-liberacion-de.html?m=1
http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html?m=1

[Hernandez Diego]

Nuestra tabla de conocimiento hasta el momento

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rVCYoCjgAKEOyu62H-Gd_QaIDtHohBDTjRufs4o4OSA/edit?usp=drivesdk

[Quintero Camilo]

TEMA:Explicación introducción en ingles.
                     Ultimas respuestas acerca de @Hernandez Diego  (los angulos de un triangulo en esfera y plano.
               

Desarrollo de mi cierre de aprendizaje durante el primer periodo(se publicara mas pero con la temática que el grupo distribuyo para el segundo periodo):

Introduccion texto en ingles:

NGLES:

Introduction
The aim of this course is to show different aspects of spherical geometry for itself, in relation to applications and in relation to other geometries and other parts of mathematics. The chapters will be (mostly) independant from each other. To begin, we'l work on the sphere as Euclid did in the plane looking at triangles. Many things look alike, but there are some striking differences. The second viewpoint will be the introduction of coordinates and the application to basic astronomy. The theorem of Pythagoras has a very nice and simple shape in spherical geometry. To contemplate spherical trigonometry will give us respect for our ancestors and navigators, but we shall skip the computations! and let the GPS do them. The stereographic projection is a marvellous tool to understand the pencils of coaxial circles and many aspects of the relation between the spherical geometry, the euclidean affine plane, the complex projective line, the real projective plane, the Möbius strip and even the hyperbolic plane. cf.  http ://math.rice.edu/ pcmi/sphere

ESPAÑOL:

Introducción
El objetivo de este curso es mostrar diferentes aspectos de la geometría esférica por sí mismo, en relación con las aplicaciones y en relación con otras geometrías y otras partes de las matemáticas. Los capítulos serán (en su mayoría) independientes entre sí. Para comenzar, trabajaremos en la esfera como lo hizo Euclides en el plano mirando triángulos. Muchas cosas se parecen, pero hay algunas diferencias notables. El segundo punto de vista será la introducción de coordenadas y la aplicación a la astronomía básica. El teorema de Pitágoras tiene una forma muy agradable y simple en geometría esférica. Contemplar la trigonometría esférica nos dará respeto por nuestros antepasados ​​y navegadores, ¡pero omitiremos los cálculos! y deja que el GPS los haga. La proyección estereográfica es una herramienta maravillosa para comprender los lápices de círculos coaxiales y muchos aspectos de la relación entre la geometría esférica, el plano afín euclidiano, la línea proyectiva compleja, el plano proyectivo real, la tira de Möbius e incluso el plano hiperbólico. cf. http: //math.rice.edu/ pcmi / sphere.


Explicación: El autor de este texto(Eric Lehman) nos da a entender que su trabajo sera asociado con relación entre ramas y ramas .Luego se plantea analizar la postura de Euclides en la triangulacion de la esfera,mas aspectos astronómicos donde se utiliza que ya claro esta yo he dicho en anteriores mensajes así como lo que planteo Ptolomeo,Riemann,Aristoteles,etc. Por ultimo como ultima idea importante se utilizara el teorema de Pitágoras para la geometría esférica y contemplar a la trigonométrica esférica como algo del pasado.

RESPUESTAS A ALGO QUE ME LLAMO LA ATENCION DE @Hernandez Diego :

¿Grados en una esfera?

TRIANGULOS: La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en alta mar mediante la observación de los astros.(NOTAS Y APUNTES DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Y ASTRONOMÍA DE POSICIÓN-Manuel Berrocoso. María Eva Ramírez. José Manuel Enríquez-Salamanca. Alejandro Pérez-Peña. Puerto Real, Mayo-2003)

Como se puede ver esos ángulos en el triangulo hacen parte del sistema de trigonometria esférica que es una trangulacion de la esfera que es mas frecuentemente usada en la astronomía y proyecciones de satélites,es esencial para las coordenadas de una ubicación geo-espacial. Ahora se dan las siguientes razones u analogias:

Digamos que hay tres puntos de la superficie esférica wu de alguna manera estan unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco.
En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < {\displaystyle \alpha \!}{\displaystyle \alpha \!} + {\displaystyle \beta \!}{\displaystyle \beta \!} + {\displaystyle \gamma \!}{\displaystyle \gamma \!} < 540°

Fórmulas fundamentales
Notación
{\displaystyle \alpha \!}{\displaystyle \alpha \!}: ángulo formado entre los arcos AC y AB

{\displaystyle \beta \!}{\displaystyle \beta \!}: ángulo formado entre los arcos AB y BC

{\displaystyle \gamma \!}{\displaystyle \gamma \!}: ángulo formado entre los arcos AC y BC

Para ver mejo lo anterior ir al link https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica

Estas razones trigonométricas geométricas son muy parecidas a la trigonométrica de Hipargo de Nicea. El punto es que  como dice @Hernandez Diego ´´Dato Curioso Los ángulos de un triángulo suman entre 180º y 540º si éste se encuentra sobre una esfera''.Es cierto por lo especificado anteriormente con betas,alfas y gamas al igual que la trigonométrica que vemos en décimo.

PARA EL PRÓXIMO POST DE MAÑANA, Y ULTIMO SE DARÁN MIS CONCLUSIONES DEL PRIMER PERIODO Y RESPUESTA A DOS PREGUNTAS PLANTEADAS ANTERIORMENTE EN EL POST 8 QUE NO HAN SIDO RESUELTAS Y SIRVEN COMO CONOCIMIENTO DEL TEMA




                     

[Quintero Camilo]

TEMA:Respuesta:¿ Cuales son los 6 argumentos Eratostenes?

RESPUESTA:

Se le debe un procedimiento, conocido como la Criba de Eratóstenes, para obtener de un modo rápido todos los números primos menores que un número dado. La versión informática de este procedimiento (algoritmo) se ha convertido con los años en un método estándar para caracterizar o comparar la eficacia de diferentes lenguajes de programación.

Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de solo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general llamado Geographica (en griego Γεωγραφικά, Geographika). En esta obra Eratóstenes describió y cartografió todo su mundo conocido, incluso dividiendo la Tierra en cinco zonas climáticas: ​ dos zonas de congelación alrededor de los polos, dos zonas templadas y una zona que abarca el ecuador y los trópicos (2011. "Eratosthenes." Hutchinson's Biography Database 1..  Colocó rejillas de líneas superpuestas sobre los mapas que representaban la superficie de la Tierra. Usó paralelos y meridianos para vincular todos los lugares del mundo. Ahora era posible estimar la distancia desde ubicaciones remotas con esta red sobre la superficie de la Tierra. En Geographica se mostraron los nombres de más de 400 ciudades y sus ubicaciones.

Teniendo en cuenta lo anterior hice un resumen de dos argumentos que el publico:

1) La tierra es perfectamente esférica
2)El sol se encontraba tan alejado que sus rayos se podían considerar paralelos.

Ambas hipotesis le permitian aplicar el quinto postulado deEUCLIDES en la enunciación siguiente:  Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, ángulos interiores que suman menos de dos ángulos rectos, al prolongar indefinidamente las dos rectas, éstas se cortan del lado en que los ángulos interiores suman menos de dos ángulos rectos.''(Esta versión del quinto postulado de Euclides se le atribuye a John Playfair (1748-1819), aunque Proclo (410-485 D.C) lo enunció en el siglo V de nuestra era. )

Como complemento se ve:

3)Supuso que la Tierra es perfectamente esférica, lo que no es cierto. Un grado de latitud no representa exactamente la misma distancia en todas las latitudes, sino que varía ligeramente de 110,57 km en el Ecuador hasta 111,7 km en los Polos. Por eso no podemos suponer que 7º entre Alejandría y Siena representen la misma distancia que 7º en cualquier otro lugar a lo largo de todo el meridiano.

4) Supuso que Siena y Alejandría se encontraban situadas sobre un mismo meridiano, lo cual no es así, ya que hay una diferencia de 3 grados de longitud entre ambas ciudades.
5) La distancia real entre Alejandría y Siena (hoy Asuán) no es de 924 km (5000 estadios ático-italiano de 184,8 m por estadio), sino de 843 km (distancia aérea y entre los centros de las dos ciudades), lo que representa una diferencia de 81 km.
6) Realmente Siena no está ubicada exactamente sobre el paralelo del trópico de cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen verticalmente a la tierra en el solsticio de verano). Actualmente se encuentra situada a 72 km (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la Tierra fluctúan entre 22,1 y 24,5º en un período de 41 000 años, hace 2000 años se encontraba a 41 km.
7) La medida de la sombra que se proyectó sobre la vara de Eratóstenes hace 2200 años debió ser de 7,5º o 1/48 parte de una circunferencia y no 7,2º o 1/50 parte. Puesto que en aquella época no existía el cálculo trigonométrico, para calcular el ángulo de la sombra, Eratóstenes pudo haberse valido de un compás,para medir directamente dicho ángulo, lo que no permite una medida tan precisa.Este no lo pude resumir asi que pongo la bibliografia(La medida del radio terrestre por Eratostenes,PDF,Grupo Extension Cientifica pag.2 a la 4).

Aun así luego de sus descubrimientos murió tristemente,mas bien se suicido y no se supo que.

CONCLUSION: Se ve una muy clara relacion entre diferentes personajes que le aportaron a la geometría esférica dando respuesta al articulo numero 8 de esta manera: Fuentes e enciclopedias como Wikipedia y textos QUE AFIRMAN el pensamiento aristotélico en la parte esférica y el estudio de ella se afirma que: José Antonio García González (2011) describe en su trabajo de estudios de arte geográfica e historia.''ARISTÓTELES (384 a. C. - 322 a. C.) demostró la esfericidad terrestre por medio de seis argumentos ERATÓSTENES, (270 aC - 195 aC) calculó la medida de circunferencia terrestre, se puede decir que era casi precisa de alrededor del 14% y construyó un mapa del mundo habitado con siete paralelos y siete meridianos.''. ademas no es que sirva sus calculos de manera significativa ya que como resumi se dice que se baso en el 5 postulado de Euclides el cual es contrastado en la geometria de esferas. Pero se le puede sacar provecho a la parte de reflexion de un plano y  su lineas paralelas con lo siguiente:(los puntos donde los rayos del sol caen verticalmente a la tierra en el solsticio de verano). Actualmente se encuentra situada a 72 km (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la Tierra fluctúan entre 22,1 y 24,5º en un período de 41 000 años, hace 2000 años se encontraba a 41 km.(El debate sobre la esfericidad de la Tierra en época clásica,pág.4 a 6) se le da el sentido completo a la siguiente formula:S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | k(x, y, z)k = 1}

[moyack]

calificado

[Quintero Camilo]

                                                                                                                    TRABAJO PROYECTO DEL SEGUNDO PERIODO,ESTÁNDARES

Luego de estar atento a las clases que brinda el maestro y tareas asignadas por el mismo se ha decidido plantear la ruta de trabajo de este periodo,cabe decir que tenemos nuestros ideales para el desarrollo del tema.

METODOLOGÍA:

• Cada estudiante perteneciente al grupo en su primer escrito de este periodo explicara todo lo aprendido en el periodo anterior y la síntesis de las ideas planteadas,para el mejor entendimiento de las nuevas tareas. Es decir,procurara realizar un texto argumentativo donde se evidencie un resumen de sus post pasados.
• Enfatizar y mejorar la tabla de conocimiento,organizar ideas y estructura.

• Estudio de las siguientes temáticas por cuenta propia y profundización en ellas: Ángulos, geometría de Pitagoras, conceptos de Tales, congruencia y semejanza, ley del seno, ley del coseno, funciones de geogebra y niveles de Van Hide. Con ello,si se es posible el compañero del grupo enviara algunas evidencias fotográficas y escritas de los temas a profundizar,ya sea practica o escribir en posts el conocimiento adquirido acerca de lo planteado.
• Como trabajo autónomo nos plantearemos dudas del tema, la mayoría de preguntas que se tengan es mejor ya que cada vez que se investigue o tengamos sesión con el maestro se responderán oportunamente.

• Se estudian la mayoría de categorías posibles que abarca la geometría esférica para en primer acto distribuir una a cada integrante el cual enfatizara en ella creando un primer marco teórico. Juntar todo conocimiento posible al rededor del tema y tomar muchas fuentes como apoyo. Al cada integrante ser un ''sabio'' en lo que eligió como tema de profundización y estudio se auto-asignara otro tema para realizar el mismo proceso. Teniendo los dos conceptos amplios se trata de juntar entre todos la información y ahora si se empieza un estudio grupal resolviendo dudas, dando hipótesis, formulando problemas de la vida diaria, etcétera.
• Al acabar lo teórico se pondrá a prueba los cálculos y formulas las cuales se explicaran de manera sencilla para que los receptores entiendan, nosotros las estudiaremos y encontraremos hacks, actividades y razonamiento lógico de estas para aplicarlas a las esferas. Para ello toda la geometría plana que hallamos estudiado la aplicaremos a la esfera,asi como cuando se estudia ingles, al que le tienes que aplicar español para transformar las oraciones o enunciado; similar a ello.

• Se comentara todo avance en el el tópico de nosotros y comentaremos demás proyectos, en mi grupo todos estudiaremos todos los temas planteados y luego mediante una sesión de nosotros mismos compartiremos conocimientos,preguntas,ideas y por ultimo se concluirá esta parte
• Como punto final se hará una síntesis o conclusión a lo estudiado por todo el segundo periodo y hecho a tipo de diario.

SI SE VE A ALGUIEN DEL GRUPO CON MALA DISPOSICIÓN POR UN TIEMPO PROLONGADO SE HARÁ INFORME AL MAESTRO YA QUE SE NOTO FALTA DE COMPROMISO DE ALGUNOS EL PERIODO PASADO,SOLO TRABAJARON CUANDO SE LES OBLIGABA PRÁCTICAMENTE
PARA EL SIGUIENTE PERIODO SE PONDRÁ A PRUEBA EL CONOCIMIENTO EN LA FAMOSA SANDBOX,AUNQUE DESDE AHORA TODO SE ENCAMINARA A ELLA.

[moyack]

Tema bloqueado por cambio de proyecto.