.ACtividad de propiedades de las potencias y radicales.pdf

Introducción

En la actualidad, el quehacer en el aula no se adapta a las necesidades e intereses individuales de los estudiantes, lo que conlleva a que no siempre se logren los resultados académicos y convivenciales necesarios para que el estudiante sea un actor activo de su comunidad.

Con los desarrollos tecnológicos actuales y las nuevas tendencias sociales, comunicativas y laborales, se han impuesto nuevas condiciones y competencias que debe tener un ciudadano para ser un actor activo, propositivo a su comunidad. Entre otros.

Con esto en mente, y centrando este proyecto al contexto de comunidad del Colegio Fernando Soto Aparicio, se propone el desarrollo de un proyecto de trabajo colaborativo - significativo para los estudiantes desde sus vivencias como niños y que permita en ellos tener experiencias de construcción ciudadana desde lo grupal que, implícitamente, fortalezcan habilidades e inteligencias que incluso ellos no reconocer tener. Bienvenidos al proyecto GEN 3D. Liderado por el orientador Fabio Ayala, Augusto Correa y con el apoyo la coordinadora de Convivencia Marcela Duarte.

Objetivos:

• Promover en los estudiantes experiencias no convencionales a través de la lúdica que propendan en la mejora de desarrollo como ciudadanos
• Habituar a los estudiantes a desarrollar proyectos grupales, con una perspectiva colaborativa y comunicativa.
• Incentivar en los estudiantes la creatividad, fomentando la confianza en ellos para expresar sus ideas y pensamientos de forma asertiva

Justificación: ¿Por qué los videojuegos y el modelamiento 3D?

Se ha podido percibir en el contexto de los estudiantes un gran sentimiento de soledad y no reconocimiento de su rol en su comunidad, el cual fue amplificado por el COVID-19. Viendo que ellos tienen un gran interés por la tecnología social, vemos en la tecnología debidamente aplicada un medio para ofrecer un reto al estudiante, motivado por una actividad que usualmente hace en sus tiempos fuera del aula de clases que lo motiva sobremanera desde su interés personal.

Con ello, el proceso de desarrollo de propuestas culturales a través de la lúdica se convierte en un "acelerador de experiencias" que les permitirá a los participantes construir su pensamiento crítico y aumentar su autoestima frente a sus capacidades y aportes a su comunidad.

TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

EL TRABAJO \( (W) \) efectuado por una fuerza se define como el producto de esa fuerza multiplicada por la distancia paralela sobre la cual actúa. Considere el caso más sencillo del movimiento rectilíneo que se muestra en la figura6-1, donde una fuerza \( \mathbf{\vec F} \) actúa sobre un cuerpo y hace que éste experimente un desplazamiento vectorial \( \mathbf{\vec s} \). La componente de \( \mathbf{\vec F} \) en la dirección de \( \mathbf{\vec s} \) es \( F \cos \theta \). El trabajo \( W \) efectuado por la fuerza \( \mathbf{\vec F} \) se define como el producto de la componente de \( \mathbf{\vec F} \) en la dirección del desplazamiento, multiplicada por el desplazamiento:\[ W(F \cos \theta)(s) = Fs \cos \theta \]Note que \( \theta \) es el ángulo entre la fuerza y el vector de desplazamiento. El trabajo es una cantidad escalar.

Si \( \mathbf{\vec F} \) y \( \mathbf{\vec s} \) están en la misma dirección, \( \cos \theta = \cos 0º =1 \) y \( W=Fs \). Sin embargo, si \( \mathbf{\vec F} \) y \( \mathbf{\vec s} \) tienen la misma dirección pero sentidos opuestos, entonces \( \cos \theta = \cos 180º =-1 \) y \( W=-Fs \), y el trabajo es negativo. Fuerzas como la fricción a menudo disminuyen el movimiento de los cuerpos y su sentido es opuesto al desplazamiento. En tales casos efectúan un trabajo negativo. A causa de que la fuerza de fricción se opone al movimiento de un objeto, el trabajo realizado en vencer la fricción (a lo largo de cualquier trayectoria, curva o recta) es igual al producto de \( F_f \) y la longitud de la trayectoria recorrida. De este modo, si se arrastra un objeto contra la fricción, de regreso al punto en donde se inició el recorrido, se realiza trabajo incluso si el desplazamiento neto es cero.


LA UNIDAD DE TRABAJO en el SI es el newton-metro llamado joule \( (J) \). Un joule es el trabajo realizado por una fuerza de \( 1 N \) cuando el objeto se desplaza \( 1 m \) en la dirección de la fuerza. En el sistema inglés tenemos la libra-pie \( (lb \cdot pie) \), donde \( 1 lb \cdot pie=1.355 J \).

LA ENERGÍA \( (E) \) es una medida del cambio impartido a un sistema y que se puede transferir mecánicamente a un objeto cuando una fuerza trabaja sobre dicho objeto. La cantidad de energía dada a un objeto mediante la acción de una fuerza sobre una distancia es igual al trabajo realizado. Así, cuando un objeto realiza trabajo, proporciona una cantidad de energía igual al trabajo efectuado. Debido a que el cambio puede realizarse en distintas maneras, hay una variedad de formas de energía. Todas las formas de energía, incluido el trabajo, tienen las mismas unidades, joules. La energía es una cantidad escalar. Un objeto es capaz de realizar trabajo si posee energía.

LA ENERGÍA CINÉTICA \( (EC) \) es la energía que posee un objeto debido a su movimiento. Si un objeto de masa \( m \) tiene velocidad \( v \), su energía cinética traslacional está dada por\[ EC = \frac 1 2 mv^2 \]Cuando \( m \) está en \( kg \) y \( v \) en \( m/s \), las unidades de \( EC \) son joules.

LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL \( (EP_G) \) es la energía que posee un objeto debido a su posición en el campo gravitacional. Un cuerpo de masa \( m \), al caer una distancia vertical \( h \), puede realizar un trabajo de magnitud \( mgh \). La \( EP_G \) de un objeto se define con respecto a un nivel arbitrario cero, el cual a menudo es la superficie de la Tierra. Si un objeto está a una altura \( h \) sobre el nivel cero (o de referencia), se tiene\[ EP_G = mgh \]donde \( g \) es la aceleración debida a la gravedad. Adviértase que \( mg \) es el peso del objeto. Las unidades de la \( EP_G \) son joules cuando \( m \) está en \( kg \), \( g \) en \( m/s^2 \) y \( h \) en \( m \).

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma de un tipo a otro. (La masa puede considerarse como una forma de energía. Por lo general, puede ignorarse la conversión de masa en energía y viceversa, prevista por la teoría especial de la relatividad.

POTENCIA \( (P) \) es la tasa de tiempo con que se realiza trabajo:\[ \text{Potencia promedio} = \frac {\text{trabajo realizado por la fuerza}}{\text{tiempo necesario para realizarlo}} = \text{Fuerza} \times \text{rapidez} \]donde la "rapidez" se mide en la dirección de la fuerza aplicada al objeto. En forma más general, la potencia es la tasa de transferencia de energía. En el SI, la unidad de potencia es el watt \( (W) \), donde \( 1W=1J/s \).
Otra unidad de potencia que se emplea con frecuencia es el caballo de fuerza: \( 1 hp=746 W \). En general, la potencia es la razón a la que se transfiere la energía.

EL KILOWATT-HORA es una unidad de energía. Si una fuerza realiza trabajo a una tasa de \( 1 kilowatt \) (que es \( 1000 J/s \)), entonces en una hora realizará \( 1 kW \cdot h \) de trabajo:\[ 1 kW \cdot h = 3.6 \times 10^6 J = 3.6 MJ \]

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Ejercicios

• En la figura 6-1, suponga que el objeto se jala con una fuerza de \( 75 N \) en la dirección de \( 28º \) sobre la horizontal. ¿Cuánto trabajo desarrolla la fuerza al tirar del objeto \( 8.0 m \)?

  
• Un bloque se mueve hacia arriba por un plano inclinado \( 30º \) bajo la acción de las tres fuerzas que se muestran en la figura 6-2. \( \mathbf{ \vec F}_1 \) es horizontal y de \( 40 N \) de magnitud. \( \mathbf{ \vec F}_2 \) es normal al plano y de \( 20 N \) de magnitud. \( \mathbf{ \vec F}_3 \) es paralela al plano y de \( 30N \) de magnitud. Determine el trabajo realizado por cada una de las fuerzas, cuando el bloque (y el punto de aplicación de cada fuerza) se mueve \( 80 cm \) hacia arriba del plano inclinado.

  
• Un cuerpo de \( 300 g \) se desliza \( 80 cm \) a lo largo de una mesa horizontal. ¿Cuánto trabajo se realiza para superar la fricción entre el cuerpo y la mesa, si el coeficiente de fricción cinética es \( 0.20 \)?
• ¿Cuánto trabajo se realiza contra la gravedad al levantar un objeto de \( 3.0 kg \) a través de una distancia vertical de \( 40 cm \)?
• ¿Cuánto trabajo se realiza sobre un objeto por la fuerza que lo soporta conforme éste se desplaza hacia abajo una distancia vertical \( h \)? ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza gravitacional sobre dicho objeto en el mismo proceso?
• Una escalera de \( 3.0 m \) de longitud que pesa \( 200 N \) tiene su centro de gravedad a \( 120 cm \) del nivel inferior. En su parte más alta tiene un peso de \( 50 N \). Calcule el trabajo necesario para levantar la escalera de una posición horizontal, sobre el piso, a una vertical.
• Calcule el trabajo realizado en contra de la gravedad por una bomba que descarga \( 600 litros \) de gasolina dentro de un tanque que se encuentra a \( 20 m \) por encima de la bomba. Un centímetro cúbico de gasolina tiene una masa de \( 0.82 gramos \). Un litro es igual a \( 1000 cm^3 \).
• Una masa de \( 2.0 kg \) cae \( 400 cm \). a) ¿Cuánto trabajo realizó la fuerza de gravedad sobre la masa? b) ¿Cuánta \( EP_G \) perdió la masa?
• Una fuerza de \( 1.50 N \) actúa sobre un deslizador de \( 0.20 kg \) de tal forma que lo acelera a lo largo de un riel de aire. La trayectoria y la fuerza están sobre una línea horizontal. ¿Cuál es la rapidez del deslizador después de acelerarlo desde el reposo, a lo largo de \( 30 cm \), si la fricción es despreciable?
• Un bloque de \( 0.50 kg \) se desliza sobre la superficie de una mesa con una velocidad inicial de \( 20 cm/s \), se mueve una distancia de \( 70 cm \) y queda en reposo. Encuentre la fuerza de fricción promedio que retarda su movimiento.
• Un automóvil que viaja a \( 15 m/s \) es llevado hasta el reposo en una distancia de \( 2.0 m \) al estrellarse contra un montículo de tierra. ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce el cinturón de seguridad sobre un pasajero de \( 90 kg \) en el automóvil cuando es detenido?
• Se dispara un proyectil hacia arriba desde la tierra con una rapidez de \( 20 m/s \). Usando consideraciones de energía, ¿a qué altura estará el proyectil cuando su rapidez sea de \( 8.0 m/s \)? Ignore la fricción del aire.
• En una máquina de Atwood, las dos masas son de \( 800 g \) y \( 700 g \). El sistema inicialmente está en reposo. ¿Cuál es la rapidez de la masa de \( 800 g \) después de que cae \( 120 cm \)?

  
• Como se muestra en la figura 6-3, una cuenta se desliza sobre un alambre. Si la fuerza de fricción es despreciable y en el punto A la cuenta tiene una rapidez de \( 200 cm/s \), a) ¿cuál será su rapidez en el punto B?, b) ¿cuál en el punto C?
• Suponga que la cuenta de la figura 6-3 tiene una masa de \( l5 g \) y una rapidez de \( 2.0 m/s \) en el punto A, y se detiene al llegar al punto C. La longitud del alambre desde A hasta C es de \( 250 cm \). ¿Cuál es la fuerza de fricción promedio que se opone al movimiento de la cuenta?
• Un automóvil de \( 1200 kg \) va cuesta abajo por una colina con una inclinación de \( 30º \), como se muestra en la figura 6-4. Cuando la rapidez del automóvil es de \( 12 m/s \), el conductor aplica los frenos. ¿Cuál es el valor de la fuerza constante \( F \) (paralela al camino) que debe aplicarse si el carro se detiene después de viajar \( 100 m \)?

  
• En la figura 6-5 se muestra un péndulo con una cuerda de \( 180 cm \) de longitud y una pelota suspendida en su extremo. La pelota tiene una rapidez de \( 400 cm/s \) cuando pasa por el punto bajo de su trayectoria. a) ¿Cuál es la altura h sobre este punto a la cual se elevará antes de detenerse? b) ¿Qué ángulo forma el péndulo con la vertical?

  
• Sobre el plano inclinado de la figura 6-6 se dispara hacia arriba un bloque de \( 500 g \) con una rapidez inicial de \( 200 cm/s \). ¿Qué tan arriba sobre el plano inclinado llegará si el coeficiente de fricción entre éste y el plano es de \( 0.150 \)?

  
• Un tren de \( 60 000 kg \) asciende por una pendiente con inclinación de \( 1.0% \) (esto es, se eleva \( 1.0 m \) por cada \( 100 m \) horizontales) por medio de una tracción que lo jala con una fuerza de \( 3.0 kN \). La fuerza de fricción que se opone al movimiento del tren es de \( 4.0 kN \). La rapidez inicial del tren es \( 12 m/s \). ¿Qué distancia horizontal \( s \) recorrerá el tren antes de que su velocidad se reduzca a \( 9.0 m/s \)?
• Un anuncio publicitario pregona que cierto automóvil de \( 1 200 kg \) puede acelerar desde el reposo hasta \( 25 m/s \) en un tiempo de \( 8.0 s \). ¿Qué potencia promedio debe desarrollar el motor para originar esta aceleración? Dé su respuesta en watts y en caballos de fuerza. Ignore las pérdidas por fricción.

El torque (O MOMENTO DE TORSIÓN) \( \mathbf {(\tau)} \) alrededor de un eje, debida a una fuerza, es una medida de la efectividad de la fuerza para que ésta produzca una rotación alrededor de un eje. El torque se define de la siguiente forma: \[ \text {Torque} = \tau = rF sen \theta \]donde \( r \) es la distancia radial desde el eje al punto de aplicación de la fuerza y \( \theta \) es el ángulo agudo entre las direcciones de \( \mathbf{\vec {r}} \) y de \( \mathbf {\vec {F}} \), como se muestra en la figura 5-1a. Con frecuencia, esta definición se escribe en términos del brazo de palanca de la fuerza, que es la distancia perpendicular desde el eje a la línea de acción de la fuerza, como se muestra en la figura 5-1b. Como el brazo de palanca es igual a \( r sen \theta \), la ecuación del torque se reescribe como:\[ \tau = \text{(F) (brazo de palanca)} \]Las unidades del torque son newton-metro \( (N \cdot m) \). El torque puede ser positivo o negativo; es positivo cuando la rotación alrededor del eje es en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj y negativo cuando la rotación es en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del reloj.


LAS DOS CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO de un cuerpo rígido bajo la acción de fuerzas coplanares son:

• La primera o condición de la fuerza: La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo debe ser cero:\[ \sum F_x = 0 \qquad \sum F_y = 0 \]donde se ha tomado al plano \( xy \) como el plano de las fuerzas coplanares.
  
  
• La segunda o condición del torque: Tome un eje perpendicular al plano de las fuerzas coplanares. Todas los torques que tienden a producir una rotación en el sentido del reloj onsidérelos como negativas, y las que producen una rotación contra el sentido del reloj, como positivas; la suma de todas las torcas que actúan sobre el objeto debe ser cero:\[ \sum \tau = 0 \]

EL CENTRO DE GRAVEDAD de un objeto es el punto en el cual se puede considerar que está concentrado todo su peso; esto es, la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad. Una sola fuerza vertical y dirigida hacia arriba, igual en magnitud al peso del objeto y aplicada en el centro de gravedad, mantendrá al cuerpo en equilibrio.

LA POSICIÓN DE LOS EJES ES ARBITRARIA: Si la suma de los torques es cero en torno a un eje determinado para un cuerpo que cumple la condición de fuerza, será cero para todo eje paralelo al primero. Generalmente se escoge el eje de tal forma que la línea de acción de la fuerza desconocida pase por la intersección del eje de rotación y el plano de las fuerzas. Entonces el ángulo \( \theta \) entre \( \mathbf{\vec {r}} \) y \( \mathbf {\vec {F}} \) es cero; en consecuencia, dicha fuerza desconocida particular ejerce un torque cero y por tanto no aparece en la ecuación del torque.

• Calcule el torque alrededor del eje A (que es perpendicular a la página) en la figura 5-2 debida a cada una de las fuerzas indicadas.

  
• Una viga metálica uniforme de longitud \( L=1m \) pesa \( 200 N \) y sostiene un objeto de \( 450 N \) como se muestra en la figura 5-3. Calcule la magnitud de las fuerzas que ejercen sobre la viga las columnas de apoyo colocadas en los extremos. Suponga que las longitudes son exactas.

  
• Un tubo uniforme de \( 100 N \) se utiliza como palanca, como se muestra en la figura 5-4. ¿Dónde se debe colocar el fulcro (punto de apoyo) si un peso de \( 500 N \) colocado en un extremo se debe balancear con uno de \( 200 N \) colocado en el otro extremo? ¿Cuál es la fuerza de reacción que ejerce el punto de apoyo en el tubo? (Asumir la longitud del tubo como \( L=2m \))

  
• ¿En qué punto de una pértiga rígida, uniforme y horizontal de \( 100 N \) se debe colgar un objeto de \( 0.80 kN \), de tal forma que una niña, colocada en uno de los extremos, sostenga un tercio de lo que soporta una mujer colocada en el otro extremo?
• En un tablón uniforme de \( 0.20 kN \) y longitud \( L=1.5m \) se cuelgan dos objetos: \( 300 N \) a \( L/3 \) de un extremo, y \( 400N \) a \( 3L/4 \) a partir del mismo extremo. ¿Qué otra fuerza debe aplicarse y en qué posición para que el tablón se mantenga en equilibrio?
• La escuadra (regla de ángulo recto) que se muestra en la figura 5-7 cuelga en reposo de una clavija. Está fabricada con una hoja de metal uniforme. Uno de los brazos tiene una longitud de \( L=50 cm \) y el otro tiene \( 100 cm \) de longitud. Calcule (a dos cifras significativas) el ángulo \( \theta \) que forma cuando está colgada.

  
• Examine el diagrama que se muestra en la figura 5-8a. La viga uniforme de \( 0.60 kN \) está sujeta a un gozne (pivote) en el punto \( P \). Calcule la tensión en la cuerda y las componentes de la fuerza de reacción que ejerce el gozne sobre la viga. Dé sus respuestas con dos cifras significativas.

  
• Un asta de densidad uniforme y \( 0.40 kN \) está suspendida como se muestra en la figura 5-9a. Calcule la tensión en la cuerda y la fuerza que ejerce el pivote en \( P \) sobre el asta.

  
• En la figura 5-10, las bisagras \( A \) y \( B \) mantienen una puerta uniforme de \( 400 N \) en su lugar. La bisagra superior sostiene todo el peso de la puerta. Calcule las fuerzas ejercidas en las bisagras sobre la puerta. El ancho de la puerta es \( h/2 \), donde \( h \) es la separación entre las bisagras.

  
• Una escalera se recarga contra una pared lisa, como se muestra en la figura 5-11. (Por pared "lisa" se debe entender que la pared sólo ejerce sobre la escalera una fuerza que es perpendicular a la pared. No existe fuerza de fricción.) La escalera pesa \( 200N \) y su centro de gravedad está a \( 0.40L \) desde el pie y a lo largo de la escalera, \( L \) es la longitud de la escalera y esta mide \( 3m \). a) ¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza de fricción al pie de la escalera para que ésta no resbale? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática?

  

Equilibrio bajo la acción de fuerzas concurrentes - fecha de calificación: Semana del 29 de mayo al 2 junio de 2023

LAS FUERZAS CONCURRENTES son todas las fuerzas cuyas líneas de acción pasan a través de un punto común. Las fuerzas que actúan sobre un objeto puntual son concurrentes porque todas ellas pasan a través del mismo punto, que es el objeto puntual.

UN OBJETO ESTÁ EN EQUILIBRIO bajo la acción de fuerzas concurrentes, siempre que no se esté acelerando.

LA PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO requiere que \( \sum \vec {\mathbf F} = 0 \), o bien, en forma de componentes, que\[ \sum F_x = \sum F_y = \sum F_z = 0 \]Es decir, la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto debe ser cero. Esta condición es suficiente para el equilibrio cuando las fuerzas externas son concurrentes. Una segunda condición debe satisfacerse si el objeto permanece en equilibrio bajo la acción de fuerzas no concurrentes; esto se estudiará en la sección siguiente.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (FUERZAS CONCURRENTES):

• Aísle el objeto por estudiar.
• Muestre, en un diagrama, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado (diagrama de cuerpo libre).
• Encuentre las componentes rectangulares de cada fuerza.
• Escriba la primera condición de equilibrio en forma de ecuación.
• Resuelva para determinar las cantidades requeridas.

EL PESO DE UN OBJETO \( (\vec {F}_W ) \) es la fuerza con que la gravedad tira al cuerpo hacia abajo.

LA FUERZA DE TENSIÓN \( (\vec {F}_T ) \) es la fuerza que actúa sobre una cuerda, un cable o una cadena (o, de hecho, sobre cualquier miembro estructural) y que tiende a alargarlo. La magnitud escalar de la fuerza de tensión es la tensión \( (F_T ) \).

FUERZA DE FRICCIÓN \( (\vec {F}_f ) \) es una fuerza tangencial que actúa sobre un objeto que se opone al deslizamiento del objeto a través de una superficie adyacente con la que está en contacto. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta, en sentido, a su movimiento o del movimiento inminente.

LA FUERZA NORMAL \( (\vec {F}_N ) \) sobre un objeto que descansa por una superficie es la componente de la fuerza de soporte que es perpendicular a la superficie.

POLEAS: Cuando un sistema de varias poleas ligeras sin fricción tiene una cuerda simple continua alrededor de él, la tensión en cada trozo de la cuerda es igual a la fuerza aplicada al extremo de la cuerda \( (F) \) por algún agente externo. Así, cuando la carga es soportada por \( N \) trozos de esta cuerda, la fuerza neta entregada a la cuerda, la fuerza suministrada, es \( N \cdot F \). Con frecuencia, la polea adjunta a la carga se mueve con la carga y sólo es necesario contar el número de trozos de la cuerda \( (N) \) que actúan sobre dicha polea para determinar la fuerza suministrada.

• En la figura 4-1a la tensión en la cuerda horizontal es de \( 30 N \). Encuentre el peso del objeto.

  
• Una cuerda se extiende entre dos postes. Un joven de \( 90 N \) se cuelga de la cuerda como se muestra en la figura 4-2a. Encuentre las tensiones en las dos secciones de la cuerda.

  
• Una caja de \( 50 N \) se desliza sobre el piso con rapidez constante por medio de una fuerza de \( 25 N \), como se muestra en la figura 4-3a. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción que se opone al movimiento de la caja? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal? c) Determine \( \mu_c \) entre la caja y el piso.

  
• Determine las tensiones de las cuerdas que se muestran en la figura 4-4a, si el objeto soportado pesa \( 600 N \).

  
• Los objetos de la figura 4-5 están en equilibrio. Determine el valor de la fuerza normal \( F_N \) en cada caso.
  
• Para las situaciones del problema 4.5, determine el coeficiente de fricción cinética si el objeto se mueve con rapidez constante. Redondee sus respuestas a dos cifras significativas.
• Suponga que el bloque que se encuentra en la figura 4-5c está en reposo. El ángulo del plano se aumenta lentamente. A un ángulo \( \theta=42° \), el bloque comienza a deslizarse. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano inclinado? (El bloque y la superficie no son los mismos de los problemas 5 y 6.)
• Jalado por un bloque de \( 8.0 N \), como se muestra en la figura 4-6a, un bloque de \( 20 N \) se desliza hacia la derecha con velocidad constante. Calcule \( \mu_c \) entre el bloque y la mesa. Suponga que la fricción en la polea es despreciable.

  
• La carga que aparece en la figura 4-7 cuelga en reposo. Asumiendo que todas las cuerdas están verticales y las poleas no tienen peso ni fricción. a) ¿Cuántos segmentos de la cuerda soportan la combinación de la polea y la cuerda inferior? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda que se enreda en las poleas? c) ¿Cuánta fuerza ejerce la persona? d) ¿Cuánta fuerza actúa hacia abajo sobre el gancho del techo?
  
• En la figura 4-8 aparece una carga de \( 600 N \) que cuelga sin movimiento. Suponga que las cuerdas están todas verticales y que las poleas no tienen fricción ni peso. a) ¿Cuál es la tensión en el gancho inferior unido, mediante un anillo, a la carga? b) ¿Cuántas partes de la cuerda soportan la polea móvil? c) ¿Cuál es la tensión a lo largo de la cuerda? d) ¿Cuánta fuerza aplica la persona? e) ¿Cuánta fuerza actúa hacia abajo en el techo?
• Para la situación mostrada en la figura 4-9, encuentre los valores de \( F_{T1} \) y \( F_{T2} \) si el peso del objeto es de \( 600 N \).

  
• Las fuerzas coplanares siguientes tiran sobre un anillo: \( 200 N \) a \( 30.0° \), \( 500 N \) a \( 80.0° \), \( 300 N \) a \( 240° \) y una fuerza desconocida (que llamaremos \( F_x \)). Encuentre la fuerza y la dirección de la fuerza desconocida si el anillo está en equilibrio.
• En la figura 4-10 las poleas no tienen fricción y el sistema cuelga en equilibrio. Si \( F_{W3} \), el peso del objeto ubicado a la derecha, es de \( 200 N \), ¿cuáles son los valores de \( F_{W1} \) y \( F_{W2} \)?
  
• En la figura 4-11, ¿cuánto debe pesar el objeto que está a la derecha si el bloque de \( 200 N \) permanece en reposo y la fricción entre el bloque y la pendiente es despreciable?
• El sistema de la figura 4-11 permanece en reposo cuando \( F_W = 220 N \). ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza de fricción en el bloque de \( 200 N \)?
• Encuentre la fuerza normal que actúa sobre el bloque en cada una de las situaciones de equilibrio que se muestran en la figura 4-12
  
• El bloque que se muestra en la figura 4-12a se desliza con una rapidez constante bajo la acción de la fuerza mostrada. a) ¿Cuán grande es la fuerza de fricción retardadora? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie?
• El bloque que se muestra en la figura 4-12b se desliza hacia abajo con rapidez constante. a) ¿De cuánto es la fuerza de fricción que se opone a su movimiento? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción de deslizamiento (cinética) entre el bloque y el plano?
• El bloque de la figura 4-12c empieza a deslizarse hacia arriba de la pendiente cuando la fuerza de empuje mostrada se incrementa a \( 70 N \). a) ¿Cuál es la fuerza de fricción estática máxima sobre él? b) ¿Cuál es el valor del coeficiente de fricción estática?
• Si \( F_W = 40 N \) en la situación de equilibrio que se muestra en la figura 4-13, encuentre \( F_{T1} \) y \( F_{T2} \).

  

Dinámica

Leyes de Newton - fecha de calificación: Semana del 23 al 26 de mayo 2023

LA MASA de un objeto es una medida de su inercia. Se llama inercia a la tendencia de un objeto en reposo a permanecer en este estado, y de un objeto en movimiento a continuarlo sin cambiar su velocidad. Durante varios siglos, los físicos habían encontrado útil concebir la masa como una representación de la cantidad de materia, pero esa idea ya no es sostenible (como se aprendió a partir de la Relatividad Especial).

EL KILOGRAMO PATRÓN es un objeto cuya masa se define como un kilogramo. Las masas de otros objetos se encuentran por comparación con esta masa. Un gramo masa equivale exactamente a 0.001 kg.

FUERZA, en general, es el agente del cambio. En mecánica, es aquello que cambia la velocidad de un objeto. La fuerza es una cantidad vectorial, que tiene magnitud y dirección. Una fuerza externa es aquella cuya fuente se encuentra fuera del sistema que se está considerando.

LA FUERZA RESULTANTE que actúa sobre un objeto le proporciona una aceleración en la dirección de la fuerza. La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. (A partir de la Teoría Especial de la Relatividad, ahora se sabe que este enunciado en realidad es una aproximación excelente, aplicable a todas las situaciones donde la rapidez es apreciablemente menor que la de la luz, c.)

EL NEWTON es la unidad de fuerza en el SI. Un newton \( (1 N) \) es la fuerza resultante que proporciona a \( 1 kg \) una aceleración de \( 1 m/s2 \). La libra equivale a 4.45 N o, de manera alternativa, un newton es aproximadamente un cuarto de libra.

PRIMERA LEY DE NEWTON: Un objeto en reposo permanecerá en reposo; un objeto en movimiento seguirá moviéndose con velocidad constante, excepto en cuanto recibe la acción de una fuerza externa. La fuerza es lo que cambia el movimiento.

SEGUNDA LEY DE NEWTON: Como la enunció Newton, la segunda ley se estructuró en términos del concepto de cantidad movimiento. En este punto, el enfoque será sobre una variación menos fundamental, pero muy útil. Si la fuerza resultante (neta) \( \mathbf {\vec F} \) que actúa sobre un objeto de masa \( m \) no es cero, el objeto se acelerará en la dirección de 1a fuerza. La aceleración \( \mathbf {\vec a} \) es proporcional a primera fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. Con \( \mathbf {\vec F} \) en newtons, \( m \) en kilogramos y \( \mathbf {\vec a} \) en \( m/s^2 \), esta proporcionalidad se puede escribir como una ecuación:\[ \mathbf {\vec a}=\frac {\mathbf {\vec F}}{m}~~~ \text ó ~~~ \mathbf {\vec F}=m \mathbf {\vec a} \]
La aceleración \( \mathbf {\vec a} \) tiene la misma dirección que la fuerza resultante \( \mathbf {\vec F} \).
La ecuación vectorial \( \mathbf {\vec F}=m \mathbf {\vec a} \) puede escribirse en términos de sus componentes como\[ \sum F_x = ma_x ~~~~ \sum F_y = ma_y ~~~~ \sum F_z = ma_z \]

TERCERA LEY DE NEWTON: La materia interactúa con la materia; las fuerzas se presentan en pares. Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, existe otra igual, pero en sentido opuesto, actuando sobre algún otro cuerpo. Con frecuencia a ésta se le llama ley de acción y reacción. Note que las fuerzas de acción y reacción actúan en los dos diferentes cuerpos que interactúan.

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL: Cuando dos masas \( m_1 \) y \( m_2 \) interactúan gravitacionalmente se atraen entre sí con fuerzas de igual magnitud. Para masas puntuales (o cuerpos con simetría esférica), la fuerza de atracción \( F_G \) está dada por\[ F_G=G \frac {m_1 \times m_2}{r^2} \]Donde \( r \) es la distancia entre los centros de las masas, y \( G = 6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2 \) cuando \( F_G \) está en newtons, \( m_1 \) y \( m_2 \) están en kilogramos y \( r \) está en metros.

EL PESO de un cuerpo \( (F_W) \) es la fuerza gravitacional que atrae al cuerpo. En la Tierra, es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre el cuerpo. Sus unidades son newtons (en el SI) y libras (en el sistema británico). Debido a que la Tierra no es una esfera uniforme perfecta, y sobre todo más por su rotación, el peso medido por una balanza (con frecuencia llamado peso efectivo) será diferente, de manera muy ligera, del que se acaba de definir.

RELACIÓN ENTRE MASA Y PESO: Un cuerpo de masa \( m \) en caída libre hacia la Tierra está bajo la acción de una sola fuerza, la atracción gravitacional, a la que se conoce como peso \( F_W \) del objeto. La aceleración \( g \) que tiene un objeto en caída libre se debe a su peso \( F_W \). Entonces, la ecuación \( \mathbf {\vec F}=m \mathbf {\vec a} \) da la relación entre \( F = F_W \), \( a = g \) y \( m \); esto es, \( F_W = mg \). Como en la superficie terrestre, en promedio, \( g = 9.81 m/s^2 \), un objeto de \( 1.00 kg \) pesa \( 9.81N \) (o \( 2.20 lb \)).

FUERZA DE TENSIÓN \( (\vec {F}_T) \) es la fuerza con la que una cuerda o cadena tira del objeto al cual está unida. La magnitud de la fuerza de tensión es la tensión \( (F_T) \).

FUERZA DE FRICCIÓN \( (\vec {F}_f) \) es una fuerza tangencial que actúa sobre una superficie que se opone al deslizamiento de la superficie a través de una superficie adyacente. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta, en sentido, a su movimiento. Un objeto empezará a resbalar sólo cuando la fuerza aplicada sobrepase la fuerza máxima de fricción estática.

FUERZA NORMAL \( (\vec {F}_N) \) sobre una superficie que descansa sobre una segunda superficie, es la componente perpendicular de la fuerza ejercida por la superficie de soporte sobre la superficie que está siendo soportada.

COEFICIENTE DE FRICCIÓN CINÉTICA \( (\mu_c) \) se define para el caso en el que una superficie se desliza a través de otra con rapidez constante. Esto es\[ \mu_c=\frac {\text {fuerza de fricción}}{\text {fuerza normal}} = \frac {F_f}{F_N} \]

EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN ESTÁTICA \( ( \mu_e ) \) se define para el caso en donde una superficie está a punto de deslizarse a través de otra superficie. Esto es\[ \mu_e=\frac {\text {fuerza de fricción crítica}}{\text {fuerza normal}} = \frac {F_f \text{ (máx)}}{F_N} \]donde la fuerza de fricción máxima es la fuerza de fricción cuando el objeto está a punto de iniciar su desplazamiento.

• Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre un cuerpo en el punto O presentado en la figura 3-1a. Determine su resultante de manera gráfica.
  
• Las cinco fuerzas coplanares presentadas en la figura 3-2a actúan sobre un objeto. Encuentre su resultante.
  
• Resuelva el problema (1) mediante el método de componentes. Obtenga una respuesta con una magnitud de dos cifras significativas.
• Una fuerza de 100 N hace un ángulo de \( \theta \) con el eje \( x \) y tiene una componente y escalar de 30 N. Encuentre la componente \( x \) escalar de la fuerza y el ángulo \( \theta \).
• Un niño jala una cuerda atada a un trineo con una fuerza de 60 N. La cuerda hace un ángulo de 40° con el suelo. a) Calcule el valor real del tirón que tiende a mover el trineo por el suelo. b) Calcule la fuerza que tiende a elevar el trineo verticalmente.
• Un automóvil que pesa \( F_W \) está en una rampa que tiene un ángulo \( \theta \) con la horizontal. ¿Cuál es la intensidad de la fuerza perpendicular que debe soportar la rampa para que no se rompa bajo el peso del automóvil?
• Tres fuerzas que actúan sobre una partícula están dadas mediante \( \mathbf {\vec F_1} = (20 \mathbf {\hat i} -36\mathbf {\hat j}+73\mathbf {\hat k})N \), \( \mathbf {\vec F_2} = (-17 \mathbf {\hat i} +21\mathbf {\hat j}-43\mathbf {\hat k})N \). Encuentre su vector resultante. Determine también la magnitud de la resultante con dos cifras significativas.
• Encuentre el peso de un cuerpo, si su masa en la Tierra es a) 3.00 kg, b) 200 g.
• A un objeto de 20.0 kg que se mueve libremente se le aplica una fuerza resultante de 45.0 N en la dirección \( -x \). Calcule la aceleración del objeto.
• El objeto que se muestra en la figura 3-7a pesa 50 N y está suspendido por una cuerda. Encuentre el valor de la tensión en la cuerda.
  
• Un objeto de 5.0 kg se jala hacia arriba con una cuerda acelerándolo a 0.30 m/s². ¿Cuál debe ser la tensión en la cuerda?
• Se necesita una fuerza horizontal de 140 N para jalar una caja de 60.0 kg sobre un piso horizontal con rapidez constante. ¿Cuál es el coeficiente de fricción entre el piso y la caja? Determínelo a tres cifras significativas, aun cuando esto no sea muy realista.
• La única fuerza que actúa sobre un objeto de 5.0 kg tiene por componentes \( F_x = 20 N \) y \( Fy = 30 N \). Encuentre la aceleración del objeto.
• Se desea aplicar una aceleración de 0.70 m/s² a un objeto de 600 N. ¿De qué magnitud debe ser la fuerza no balanceada que actúa sobre él?
• Una fuerza constante actúa sobre un objeto de 5.0 kg y disminuye su velocidad de 7.0 m/s a 3.0 m/s en un tiempo de 3.0 s. Encuentre la fuerza.
• Un bloque de 400 g con rapidez inicial de 80 cm/s resbala sobre la cubierta de una mesa horizontal en contra de una fuerza de fricción de 0.70 N. a) ¿Qué distancia recorrerá resbalando antes de detenerse? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción entre el bloque y la cubierta de la mesa?
• Un automóvil de 600 kg de peso se mueve en un camino nivelado a 30 m/s. a) ¿Qué tan grande debe ser la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que se requiere para detener al automóvil en una distancia de 70 m? b) ¿Cuál es el mínimo coeficiente de fricción entre las llantas y el camino para que esto suceda? Suponga que las ruedas no están trabadas, en cuyo caso se trata con fricción estática; no hay resbalamiento.
• Una locomotora de 8000 kg tira de un tren de 40 000 kg a lo largo de una vía nivelada y le proporciona una aceleración \( a_1 = 1.20 m/s^2 \). ¿Qué aceleración \( (a_2) \) le proporcionaría a un tren de 16 000 kg?
• En la figura 3-11a un objeto de masa m está colgado de una cuerda. Calcule la tensión en la cuerda si el objeto a) está en reposo, b) se mueve con velocidad constante, c) acelera hacia arriba con una aceleración \( a= \frac {3g}{2} \) y d) acelera hacia abajo con \( a = 0.75g \).
  
• Una cuerda de remolque se romperá si la tensión sobre ella excede los 1500 N. Se utilizará para remolcar un automóvil de 700 kg a lo largo de un piso nivelado. ¿Cuál es el valor máximo de la aceleración que se puede aplicar al automóvil con esta cuerda?
• Calcule la aceleración mínima con la que una mujer de 45 kg se desliza por una cuerda, si la cuerda sólo puede soportar una tensión de 300 N.
• Una caja de 70 kg resbala a lo largo de un piso debido a una fuerza de 400 N, como se muestra en la figura 3-13. El coeficiente de fricción entre la caja y el piso cuando la caja resbala es de 0.50. Calcule la aceleración de la caja.

  
• Suponga, como se muestra en la figura 3-14, que una caja de 70 kg se jala con una fuerza de 400 N que
  forma un ángulo de 30° con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética es 0.50. Calcule la aceleración de la caja.

  
• Un automóvil que se mueve a 20 m/s en un camino horizontal aplica de manera repentina los frenos y finalmente llega al reposo. ¿Cuál es la distancia más corta en que puede detenerse si el coeficiente de fricción entre las llantas y el camino es de 0.90? Suponga que todas las llantas frenan idénticamente y que los frenos no traban la detención del automóvil mediante la fricción estática.
• Como se muestra en la figura 3-15, una fuerza de 400 N empuja una caja de 25 kg. Partiendo del reposo,
  la caja alcanza una velocidad de 2.0 m/s en un tiempo de 4.0 s. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre la caja y el piso.

  
• Se tira de una vagoneta de 200 N, con rapidez constante, hacia arriba de un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal. ¿Qué tan grande debe ser la fuerza paralela al plano inclinado, si se desprecian los efectos de la fricción?
• Una caja de 20 kg reposa sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura 3-17. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano inclinado es 0.30. Calcule la aceleración con la que desciende la caja por el plano inclinado.

  
• Cuando una fuerza de 500 N empuja una caja de 25 kg, como se muestra en la figura 3-18, la aceleración de la caja al subir por el plano es 0.75 m/s². Calcule el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano.

  
• Dos bloques, de masas \( m_1 \) y \( m_2 \) , son empujados por una fuerza \( F \) como se muestra en la figura 3-19. El coeficiente de fricción entre cada bloque y la mesa es 0.40. a) ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza \( F \) si los bloques han de tener una aceleración de 200 cm/s²? b) ¿Qué fuerza ejerce \( m_1 \) sobre \( m_2 \) ? Utilice \( m_1 = 300 g \) y \( m_2 = 500 g \). Recuerde trabajar en unidades del Sistema Internacional.

  
• Una masa de 7.0 kg cuelga del extremo de una cuerda que pasa por una polea sin masa ni fricción, y en el otro extremo cuelga una masa de 9.0 kg, como se muestra en la figura 3-20. (Este arreglo se llama máquina de Atwood.) Encuentre la aceleración de las masas y la tensión en la cuerda.